TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA DIFERENCIACIÓN

Vamos a hablar de un teorema que nos va a servir más adelante en ejercicios termodinámicos entre otros.
Dice así:

Veamos un ejemplo:

Vamos a ver unas reglas de las derivadas parciales que nos vendrán bien:

Si tenéis alguna duda, podéis dejármela en los comentarios.

Gracias.

EJERCICIOS ÁLGEBRA I (ESPACIOS VECTORIALES)

Recordemos que para que V sea un subespacio de R3 debe ser cerrado por combinaciones lineales, esto es:

DEMOSTRADO

EJERCICIO 2:

Recordemos que para que sea un subespacio debe ser cerrado por combinaciones lineales.
Veamos si esto ocurre:

Así que sustituimos:

Además vemos que cumplen el ser reales por lo que H1 es un subespacio.

DEMOSTRADO.

EJERCICIO 3:

Calcula una base de V.

Recordemos que una base tiene que ser un sistema generador y además ser linealmente independientes sus vectores.

Si tenéis alguna duda, podéis dejármela en los comentarios.
Gracias.

BASES EN R3

Hoy vamos a seguir hablando de las bases en R3.

Recordemos que para que vectores sean considerados una base deben ser un sistema generador y ser linealmente independientes.
Bien, pongamos un ejemplo:3 vectores, (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1).
Para que sean una base deben ser un sistema generador.
Recordemos que significaba ser un sistema generador.
Esto significa que cualquier vector en R3 se puede expresar como combinación lineal de ellos.

Bien, ahora debemos saber si nuestra base es linealmente independiente. recordemos que para eso, ningún vector puede expresarse como combinación lineal de los otros, aquí es obvio que son linealmente independientes porque no hay valor que combinando de las coordenadas 0.
También lo podemos hacer con una matriz y ver si el rango es 3, que en este caso, lo es.

Por tanto nuestros tres vectores forman una base. DEMOSTRADO.

Bien, en la siguiente entrada haremos ejercicios de nuestras tres últimas entradas algebraicas.




Espero que os haya sido útil, si tenéis alguna duda, podéis dejármela en los comentarios.
Gracias.

BASE DE VECTORES

Hoy vamos a aprender una cosa nueva del álgebra vectorial muy interesante.
Antes de comenzar os dejo un enlace a mi entrada sobre los espacios, subespacios y subconjuntos en R:ESPACIOS, SUBESPACIOS Y SUBCONJUNTOS EN R

Bien, vamos a hablar de la base de vectores.
Como definición sería:

Por definición, <e1, ..., en> es un subespacio de E y lo denominaremos subespacio gernado por los vectores e1, ..., en.

¿Por qué decimos que por definición? Bien, hemos puesto que son combinaciones lineales de los vectores e1 y e2, y recordemos, que si un subconjunto de vectores es cerrado por combinación lineal se convierte en un subespacio de E, subespacios que siempre pasan por el origen de coordenadas.

Definimos:

En particular los vectores (e1, ..., en) generan el k-espacio vectorial E si E=(e1, ..., en).

Se dice entonces que "e1, ..., en" es un sistema de generadores de E.

Definimos diciendo que los vectores e1, ..., en son linealmente dependientes(L.D.) si alguno se expresa como combinación lineal de otros.

O decimos:

Bien, veamos como generar una base:

Un conjunto de vectores, (e1, ..., en) forman una base en E si generan E y son linealmente independientes.

Veamos el teorema:

Es decir, creo que es lógico que todo vector se exprese como combinación lineal de una base de vectores anterior.

Lo que decimos es que cualquier vector se expresa como combinación lineal de los vectores de la base de modo único, con escalares únicos, si ocurriese lo contrario ya no sería una base.

Definimos esto:

Vamos a demostrar el teorema:

Hablaremos más sobre esto en entradas posteriores.

Si tenéis alguna duda, podéis dejarla en los comentarios.

Gracias.

NÚMEROS COMPLEJOS 2

Seguimos hablando de los números complejos.
Voy a dejar el enlace a la primera entrada de los números complejos:NÚMEROS COMPLEJOS 1

Vamos a comentar como se pasa de la forma polar a la forma binómica.
Para pasar de la forma polar a la binómica, tenemos que pasar en primer lugar a la forma trigonométrica: z = rα = r (cos α + i sen α)
Una vez hecho esto, es fácil localizar la parte real que en este caso es el coseno y multiplicarlo por r para obtener "a" de la forma binómica y localizar la parte imaginaria que sería el seno y multiplicarlo por "r" para obtener la parte imaginaria.

Números complejos iguales
Dos números complejos son iguales si tienen el mismo módulo y el mismo argumento.

Número complejos conjugados
Dos números complejos son conjugados si tienen el mismo módulo y opuestos sus argumentos.

Números complejos opuestos
Dos números complejos son opuestos si tienen el mismo módulo y sus argumentos se diferencian en π radianes.

Números complejos inversos
El inverso de un número complejo no nulo tiene por módulo el inverso del módulo y por argumento su opuesto.

Multiplicación de dos números complejos en forma polar
La multiplicación de dos números complejos es otro número complejo tal que:
-Su módulo es el producto de los módulos.
-Su argumento es la suma de los argumentos.

División de complejos en forma polar
La división de dos números complejos es otro número complejo tal que:
-Su módulo es el cociente de los módulos.
-Su argumento es la resta de los argumentos.

Potencia de complejos en forma polar
La potencia enésima de número complejo es otro número complejo tal que:
-Su módulo es la potencia n-ésima del módulo.
-Su argumento n veces el argumento dado.

Fórmula de Moivre
La fórmula de De Moivre afirma que para cualquier número complejo (y en particular para cualquier número real) x y para cualquier entero n se verifica que:

Raíz enésima de números complejos en forma polar
La raíz enésima de número complejo es otro número complejo tal que:
-Su módulo es la n raíz enésima del módulo.
-Su argumento es:

siendo k=1, 2, 3, ...., (n-1)

Más adelante realizaremos ejercicios y acabaremos de ver algunas operaciones más de números complejos.

Si tenéis alguna duda, podéis dejármela en los comentarios.

Gracias.

NÚMEROS COMPLEJOS

Vamos a hacer un repaso completo y exhaustivo de los número complejos.
Principalmente de los imaginarios con la unidad imaginaria i.
Recordemos que los número imaginarios, no se consideran números reales y por tanto no están en dentro de esa clasificación pero si dentro de la de números complejos.

La unidad imaginaria es el número √-1 designado por la letra i.
Un número imaginario se denota por bi, donde "b" es el número real e "i" la parte imaginaria.

Potencias de la unidad imaginaria:
Los valores se repiten de cuatro en cuatro, por eso, para saber cuánto vale una determinada potencia de i, se divide el exponente entre 4, y el resto es el exponente de la potencia equivalente a la dada.
i⁰ = 1
i¹ = i
i² = −1
i³ = −i
i⁴ = 1

Números complejos en forma binómica:
Al número: a+bi le llamamos número complejo en forma binómica donde el número a es la parte real del número complejo y el número bi la parte imaginaria.
Los número complejos a+bi y -a-bi se llaman opuestos mientras que los números complejos z=a+bi y z=a-bi se denomina conjugados.

Operaciones con números complejos
Suma y diferencia: La suma y diferencia de números complejos se realiza sumando y restando las partes reales y las partes imaginarias entre sí, respectivamente.
Producto: El producto de los números complejos se realiza aplicando la propiedad distributiva del producto respecto de la suma y teniendo en cuenta que i² = −1.
División:El cociente de números complejos se realiza multiplicando numerador y denominador por el conjugado de este.

Módulo de un número complejo
El módulo de un número complejo es el módulo del vector determinado por el origen de coordenadas y su afijo. Se designa por |z|.

Argumento de un número complejo
El argumento de un número complejo es el ángulo que forma el vector con el eje real. Se designa por arg(z).
Para calcular el argumento, calculamos el arcotangente de b/a prescisdiendo de los signos, cuando hagamos ejercicios ya veremos en que cuadrante se encuentra.

Expresión de un número complejo
z = r_α

Donde r es el módulo y alfa el argumento.

Mañana seguiremos viendo más cosas relacionadas con los números complejos.

Si tenéis alguna duda, podéis dejármela en los comentarios.

Gracias.

ESPACIOS, SUBESPACIOS Y SUBCONJUNTOS EN R

Hoy vamos a hablar de algunas cuestiones algebraicas muy interesantes, vamos a empezar hablando de lo que es un espacio en R.
Un espacio es principal y llanamente un conjunto de dos operaciones.

Vamos a señalar unas cosas aquí; todas las transformaciones que hemos realizado son las definiciones de suma, producto o propiedad distributiva que todos conocemos: además decimos que las transformaciones son cerradas, es decir, hagamos lo que hagamos el resultado estará siempre en el mismo plano.

Ejemplos de espacio:
-En Rn: Según el valor de n, obtendremos las dimensiones correspondientes, después según las dimensiones obtenidas, tenemos un vector con coordenadas x1, x2, x3 que podemos sumar con otro vector o multiplicarlo por un escalar.
Como podéis observar en la imagen, hemos realizado las operaciones básicas de suma y producto por un escalar.

-Con matrices cuadradas de orden 2 con coeficiente en R; M(2,R):

Existen ejemplos también con matrices cuadradas con coeficiente en k o con polinomios pero sobreentiendo que se sepa sumar o multiplicar por un escalar las matrices o los polinomios.

Vamos a hablar ahora de los subconjuntos y los subespacios.
Primero comentemos que es una combinación lineal:
Sea E un k-espacio vectorial.
Sean e1, e2, ..., en pertenecientes a E, vectores de E.
Llamaremos combinación lineal de los vectores e1, e2, ...., en a una expresión de la forma:

para ciertos escalares xi perteneciente a k sabiendo que (i=1, 2,...n)

Hay que comentar que a la multiplicación por escalares se la denomina dilatación.

Y, como hemos comentado antes, que la suma y el producto sean cerrados significa que aunque sumes o multipliques el resultado se encontrará en el mismo lugar que su anterior.

Bien, sea E un k-espacio vectorial.

Un subconjunto V perteneciente al espacio E es un subespacio de E solo si es cerrado por combinaciones lineales.

Es decir, si:

Más adelante seguiremos hablando de esto y haremos ejercicios para probar si un subconjunto es un subespacio de algún espacio.

Si tenéis alguna duda, podéis dejármela en los comentarios.

Gracias.