TIPOS DE FUNCIONES

FUNCIONES POLINÓMICAS

Encontramos grados mayores pero son menos conocidas

FUNCIÓN POTENCIAL

FUNCIÓN RACIONAL
División de funciones polinómicas.
y=1/x.


Os explicaré próximamente las funciones exponenciales y sus recíprocas que son las logarítmicas cuando hablemos también de Euler y su número.
Si tenéis dudas, podéis dejármelas en los comentarios.
Gracias.

PITAGÓRICOS MÁS CONOCIDOS Y SUS APORTACIONES A LAS MATEMÁTICAS(MATEMÁTICAS EN LA HISTORIA)

Sigo ofreciendoos vidas y trabajos de matemáticos conocidos.

Como ya terminan mis vacaciones, estas aportaciones se reducirán y seguiremos trabajando funciones.

Gracias.

BIOGRAFÍAS DE LOS PITAGÓRICOS MÁS CONOCIDOS
HIPÓCRATES DE QUÍOS
VIDA:
Hipócrates de Quíos fue un matemático, geómetra y astrónomo griego, vivió aproximadamente entre el 470 y el 410 a.C. 

Hipócrates de Quíos fue originariamente un comerciante.
Después de ciertos contratiempos como por ejemplo, que le robaron tanto piratas como oficiales de aduanas corruptos, marchó a Atenas, posiblemente para litigar.

Debió dedicarse a la enseñanza para sobrevivir, y terminó desarrollándose como un matemático destacado.

Según Aristóteles, aunque era destacado como geómetra, era estúpido y falto de sentido común en otros aspectos.

APORTACIONES MATEMÁTICAS:
RAZONAMIENTO POR REDUCCIÓN AL ABSURDO
Partiendo de un sistema de axiomas o verdades a priori, que tenían carácter intuitivo utilizó por primera vez el conocido esquema-demostración.

Permite establecer la verdad de una proposición demostrando que la proposición contraria conduce a un absurdo.
Partía de una hipótesis falsa para llegar a una verdadera.

CUADRATURA DE LA LUNA
Una lúnula es cualquiera de las dos figuras semejantes a una luna creciente (o menguante, según la que se tome) que se obtienen mediante la intersección de dos círculos.

Como el área A de un círculo es A=π⋅r², donde r es el radio del círculo, entonces el número π es la razón entre el área del círculo y su radio al cuadrado.

Es decir:π=A/r², Si llamamos d al diámetro del círculo, entonces d=2r⇒r=d/2.

Sustituyendo en la expresión anterior:
π=A/(d/2)² A/(d² /4)=4A/d² ⇒π/4=A/d² .

Así que, la razón entre el área del círculo y el cuadrado levantado sobre su diámetro es una cantidad constantemente igual a π4.

Como π<4, entonces nπ/4=A/d² <1⇒A<d² ,lo que demuestra también que el área del círculo es menor que el área del cuadrado levantado sobre su diámetro.

Hipócrates de Quíos, preocupado con el problema de la cuadratura del círculo (problema que ahora sabemos que es irresoluble), usó las razones anteriores, constatemente iguales a los números π y π/4, para mostrar cómo se podía cuadrar un área limitada por líneas curvas.

En la figura siguiente se muestra una lúnula L. Demostraremos que el área de la lúnula es igual al área del triángulo T.




Este problema los plantee hace mucho tiempo en mi blog:ENLACE y RESOLUCIÓN.

TEODORO DE CIRENE
VIDA:
Teodoro de Cirene (465 a.C. - 398 a.C.) fue un filósofo y matemático griego nacido en Cirene (Libia).

Fue desarrollador de la teoría de los números irracionales.

Teodoro fue Alumno de Protágoras, y vivió la mayor parte de su vida en Atenas, donde conoció a Sócrates y a Platón.

Teodoro trabajó en campos tan diversos como la filosofía, la astronomía, la aritmética, la música y la educación.

Pitagórico, creía que la alegría y el juicio eran la base para llegar a la felicidad.

Es conocido sobre todo por su trabajo matemático, donde probó la irracionalidad de las raíces de los números enteros no cuadrados (2, 3, 5...) al menos hasta 17 a base del método tradicional pitagórico de usar la reducción al absurdo y llegar a una inconsistencia relacionada con pares e impares.

También desarrolló la espiral que lleva su nombre usando el Teorema de Pitágoras y añadiendo perpendicularmente a un segmento una unidad lo que forma triángulos cuyas hipotenusas son las sucesivas raíces gráficamente.

Falleció en Cirene.

APORTACIONES MATEMÁTICAS:
ESPIRAL DE TEODORO

El espiral se inicia con un triángulo rectángulo isósceles, con ambos catetos de longitud 1 unidad (1u).

Otro triángulo rectángulo se forma, siendo un cateto de longitud la hipotenusa del primer triángulo, en este caso la raíz cuadrada de 2 y el otro cateto de longitud 1 unidad; la longitud de la hipotenusa del segundo triángulo es la raíz cuadrada de 3.

Este proceso se repite; el i-ésimo triángulo en la secuencia es un triángulo rectángulo con sus catetos de longitud √i y 1, e hipotenusa √(i+1).

Llegando a tener un máximo de raíz cuadrada, la cual queda en 17 .

Cada una de las hipotenusas de los triángulos hi dan la raíz cuadrada para el número natural consecutivo, con h1= √2, h2= √3,h3= √4=2 y así sucesivamente.

Teodoro finaliza esta espiral en el triángulo rectángulo de hipotenusa √17. Si la espiral continua con la construcción de infinitos triángulos, surgen muchas características y propiedades interesantes.

FILOLAO
VIDA:
Filolao(470 a.C.– 380 a.C.)fue un matemático y filósofo griego pitagórico y presocrático.

Consideró que toda la materia está compuesta por cosas limitantes e ilimitadas, y que el universo está determinado por números.

Se le atribuye haber originado la hipótesis de que la Tierra no era el centro del Universo.

Cilón, al que hemos nombrado con anterioridad, era un hombre rico y poderoso que quería ser admitido a toda costa en las filas de los pitagóricos.
Sin embargo, su solicitud fue rechazada en varias ocasiones.
Cilón sabía que los miembros de la Escuela solían reunirse en una gran mansión para discutir sobre asuntos ciudadanos y decidió vengarse prendiendo fuego a la casa.

Filolao fue el único superviviente del incendio.

APORTACIONES CIENTÍFICAS:

Filolao de Crotona afirmaba que en el centro del universo se hallaba un enorme fuego, distinto del Sol, y que a su alrededor giraba la Tierra a gran velocidad.

El universo quedó explicado, entonces, como un gran fuego central en torno al que giraban la Tierra, la Luna, el Sol, los cinco planetas conocidos y el cielo de las estrellas fijas.

Al ser nueve el número resultante, fue necesario completarlo suponiendo un nuevo cuerpo celeste, la antitierra, situada entre nuestro planeta y el fuego central y no visible por el hombre.

Las doctrinas astronómicas de Filolao se consideran precursoras del heliocentrismo de Copérnico.

ARQUITAS DE TARENTO
VIDA:
Arquitas nació en Tarento(Magna Grecia)entre los años 435 y 410 a.C.

Fue comandante en tres guerras, y estratega de Tarento durante siete años, lo que correspondía a un honor elevado.
Condujo una reforma política en Tarento mediante la que llegó a ser la ciudad más rica y poblada de la Magna Grecia.

A través de la construcción de memoriales, templos y otros edificios le dio lustre a la ciudad.
Ayudó a dar nuevos impulsos al comercio al buscar asociaciones con con Istria, Grecia y África.

Arquitas de Tarento perteneció a los Pitagóricos, alumno de la escuela de Filolao.

Además fue el primer pintor de graffiti.
Sucedió así, detestaba decir groserías y, un día en que sintió necesidad de hacerlo, volvió la espalda bruscamente a sus interlocutores y se lanzó al muro que tenía detrás.
Allí escribió en letras grandes la palabra que no quería decir. 

También salvó de la muerte a Platón.
Dionisio, tirano de Siracusa, planeó hacer asesinar al filósofo.
En cuanto Arquitas lo supo, envió con toda rapidez a Siracusa un barco lleno de soldados, con un mensajero también a bordo que advirtió a Dionisio de que Arquitas le exigía que dejara marchar a Platón.
Dionisio accedió al deseo del estratega porque temía entablar una guerra con la poderosa Tarento.
Platón pudo abandonar Siracusa sano y salvo.

Según cuenta Horacio en una de sus odas, Arquitas falleció en un naufragio en las costas de Apulia entre los años 360 y 350 a. C.
Horacio escribió que su cuerpo permaneció sin sepultura en la orilla hasta que un navegante le echó arena encima, pues de otra forma habría vagado en este lado del Lago Estige durante cien años.

El cráter Arquitas de la Luna fue nombrado en su honor.

APORTACIONES MATEMÁTICAS:
Inventó el número 1.

Además fue el primer ingeniero.
Aplicó un gran número de principios matemáticos de la geometría al estudio de dispositivos materiales, y creó el arte mecánico. Fabricó un pájaro mecánico.

HIPASO DE METAPONTO

VIDA:
Hipaso de Metaponto fue un matemático, teórico de la música y filósofo presocrático, miembro de la Escuela pitagórica.

Se le atribuyen tres importantes descubrimientos: La construcción de un dodecaedro inscrito en una esfera, el descubrimiento de la inconmensurabilidad y la determinación de las relaciones numéricas de las consonancias básicas a través de experimentos de sonido.

Se cree que fue él quien probó la existencia de los números irracionales,en un momento en el que los pitagóricos pensaban que los números racionales podían describir toda la geometría del mundo.

Hipaso de Metaponto habría roto la regla de silencio de los pitagóricos revelando al mundo la existencia de estos nuevos números.
Eso habría hecho que éstos lo expulsaran de la escuela y erigieran una tumba con su nombre, mostrando así que para ellos, él estaba muerto.

Los documentos de la época dan versiones diferentes de su final.
Parece ser que murió en un naufragio en circunstancias misteriosas; algunos dicen que se suicidó como autocastigo, dejando así libertad a su alma para ir a buscar la purificación en otro cuerpo; otros afirman que un grupo de pitagóricos lo mataron.

APORTACIONES MATEMÁTICAS:
TERCERA MEDIA
Fue uno de los inventores de la tercera media.

Las medias son números que designan los diferentes tipos de relaciones que tres números pueden mantener.

Antes que él existían dos media, la aritmética y la geométrica.

A la nueva media se la llamó media armónica:El primero sobrepasa al segundo con una fracción de sí mismo, mientras que el segundo sobrepasa al tercero con la misma fracción del tercero.

EJEMPLO:6, 4 y 3; 4 es la media armóica de 6 y de 3.

Ya que 6 sobrepasa a 4 en 2, que es tercio de 6, y 4 sobrepasa a 3 en 1, que es tercio de 3.

DESCUBRIMIENTO DE LOS IRRACIONALES
Que habría descubierto calculando la raíz de 2.

DODECAEDRO INSCRITO EN UNA ESFERA

ACÚSTICA Y RESONANCIA
Entre los escasos documentos atribuidos a Hipaso que han llegado hasta nosotros, existe la descripción de un experimento realizado con discos de bronce del mismo diámetro y diferente grosor(el grosor del primero era un tercio mayor que el del segundo, una vez y media mayor que el del tercero, y el doble que el del cuarto disco) ,que producían una serie de escalas armónicas.

ESCUELA PITAGÓRICA

Espero que os haya gustado y os haya servido para aprender o entender alguna cosas.

Si tenéis dudas, podéis dejármelas en los comentarios.

Gracias.

FUNCIÓN(EJERCICIO)

Próximamente haremos más ejercicios de funciones y de distintas maneras.
Si tenéis alguna duda, dejádmela en los comentarios.
Gracias.

PITÁGORAS DE SAMOS(MATEMÁTICAS EN LA HISTORIA)

Voy a dejaros un trabajo realizado sobre Pitágoras de Samos y sus aportaciones a las matemáticas modernas, disfrutadlo.

PITÁGORAS DE SAMOS

¿QUIÉN FUE PITÁGORAS?
Pitágoras de Samos fue un filósofo y matemático griego considerado el primer matemático puro.

Contribuyó de manera significativa en el avance de la matemática helénica, la geometría y la aritmética.

Fue el fundador de la Hermandad Pitagórica, una sociedad que, si bien era de naturaleza predominantemente religiosa, se interesaba también en medicina, cosmología, filosofía, ética y política, entre otras disciplinas.



NACIMIENTO DE PITÁGORAS

NOTA:Los datos verificables sobre la vida de Pitágoras son escasos dado que no existen textos de su autoría ni biografías firmadas por contemporáneos.

Los primeros escritos detallados, que datan de entre 150 y 250 años después de su muerte, se basan en historias transmitidas de manera oral y muestran grandes diferencias entre sí.

Nació en la isla de Samos y murió en Crotona.

Se sitúa su vida en el siglo VI a.C.

VIDA DE PITÁGORAS
A los 18 años, participó en los Juegos Olímpicos donde ganó todas las competiciones de Pugilato.

Después de esto decidió viajar, y ahí comenzó a cultivar su sabiduría.

Pasó algunos años en Jonia con Tales y Anaximandro.

Después fue a Siria, donde permaneció junto a los sabios fenicios que le iniciaron en los misterios de Biblos.

Posteriormente desde el monte Carmelo (actual Líbano) embarcó hacia Egipto, donde vivió por espacio de 20 años.

Allí asimiló la sabiduría de los sacerdotes en los templos a orillas del Nilo.

Cuando cayó prisionero de los persas que invadieron Egipto y fue llevado
a Babilonia, aprovechó y adquirió los conocimientos de escribas y magos babilonios.

Regresó a Samos 40 años después, pero dado que gobernaba un tirano decidió marcharse de nuevo.

Desembarcó en el sur de Italia, en la ciudad de Sibaris, en una población cercana denominada Crotona, fundó su “Escuela”.

Las razones por las que eligió Crotona como centro de sus actividades son fuente de especulación.
Según Diógenes, lo hizo para escabullirse de la tiranía de Polícrates, aunque es más probable que fuera debido al escaso éxito con que fueron acogidas sus enseñanzas en su ciudad natal, además de que se le exigía que participase de los asuntos públicos y de política.

También se menciona la fama de esta ciudad en el cultivo de la medicina como posible influencia.

MUERTE DE PITÁGORAS
La evidencia sobre el lugar y el año de la muerte de Pitágoras es incierta.

En 508 a.C. la Sociedad Pitagórica de Crotona fue violentamente atacada y Pitágoras escapó a Metaponto, lugar donde terminaría sus días (algunos autores afirman que se dejó morir de hambre).

Jámblico refiere la siguiente versión de los hechos: Cilón, un ciudadano noble de Crotona, líder por nacimiento, rico y poderoso, pero también violento y tiránico, deseaba ansiosamente participar del modo de vida de los pitagóricos. 

Se acercó a Pitágoras, para entonces un hombre mayor, pero fue rechazado en virtud de los defectos de carácter antes mencionados.
Cilón decidió tomar venganza y juró perseguir a los pitagóricos hasta el último hombre.

Ésta es la versión mayoritariamente aceptada por los historiadores, pero Jámblico la discute, arguyendo que el ataque de Cilón fue un asunto menor y que Pitágoras regresó a Crotona.

Ciertamente la Sociedad Pitagórica prosperó por muchos años después de este acontecimiento y se propagó hacia otras ciudades italianas.

APORTACIÓN A LAS MATEMÁTICAS DE PITÁGORAS

NOTA:Debido al secretismo que existía en la escuela pitagórica y a los pocos derechos de autor que allí prosperaron, es posible que muchas aportaciones matemáticas no se las ofrezca a Pitágoras, otras se las ofreceré pero no serán suyas y probablemente otras fueran realizadas en conjunto.
Al fin y al cabo, esa escuela trabajaba como un equipo.

LA PRIMERA CLASIFICACIÓN NUMÉRICA
Pitágoras agrupó los números en dos categorias:Los pares y los impares, es decir, los que son divisibles por dos y los que no lo son.

REGLAS DE CALCULO SOBRE LA PARIEDAD
Es decir;
par más par, es igual a par,
impar más impar es igual a par,
impar más par es igual a impar.

Y para la multiplicación;
par por par es igual a par,
impar por impar es igual a par,
impar por par es igual a par.

TEOREMA DE PITÁGORAS
El teorema de Pitágoras establece que en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las respectivas longitudes de los catetos. 

Ahora bien, ¿es de Pitágoras este descubrimiento?

Bastante antes que él los egipcios y los babilonios habían descubierto relaciones entre ternas de números señalada en el famoso teorema.

Una de esas ternas de números era:45, 60 y 75, que equivale a nuestra famosa terna:3, 4 y 5.

Aún así hay que distinguir entre resultado y demostración, por eso este teorema se le adjudica a Pitágoras, porque si bien los egipcios o babilonios tenían el resultado, no tenían la demostración.

APORTACIÓN A LAS MATEMÁTICAS DE LOS PITAGÓRICOS
Hay tanta información matemática descubierta por los pitagóricos que no he podido evitar añadirlo a la biografía de su maestro.

LOS NÚMEROS IRRACIONALES
Como consecuencia del Teorema de Pitágoras, también se les considera descubridores de los números irracionales.

Estos números contradecían la doctrina básica de la escuela: habían descubierto que existían números "inexpresables", como , que no eran ni enteros ni fraccionarios.

Los pitagóricos descubrieron que la diagonal de un cuadrado de lado 1 no puede expresarse como un cociente de números enteros.



La única manera que tenían de afirmar que una cosa no existía era probar que no podía existir.

Para probar que no podían existir esos números, los pitagóricos realizaban demostraciones de imposibilidad.

Este evento marca el descubrimiento de los números irracionales,lo cual sólo podía entenderse en términos de inconmensurabilidad

SÓLIDOS CÓSMICOS
Sólo existen cinco poliedros regulares, que los pitagóricos veneraban y que llamaban sólidos cósmicos.





EL DESCUBRIMIENTO DE LOS NÚMEROS PERFECTOS Y LOS NÚMEROS AMIGOS

Jámblico atribuye a Pitágoras el haber descubierto el par de números amigos (220, 284).

Hay más aportaciones matemáticas, pero no os preocupéis, algunas de las más importantes las veremos con otros autores.

FILOSOFÍA DE PITÁGORAS
Pitágoras su una escuela filosófica y religiosa en Crotona, al sur de Italia, que tuvo numerosos seguidores.

Se llamaban a sí mismos matemáticos (matematikoi), vivían en el seno de esta sociedad de forma permanente, no tenían posesiones personales y eran vegetarianos.

Hasta 300 seguidores llegaron a conformar este grupo selecto, que oía las enseñanzas de Pitágoras directamente y debía observar estrictas reglas de conducta. Sus máximas pueden sintetizarse como:

-En su nivel más profundo, la realidad es de naturaleza matemática.

-La filosofía puede usarse para la purificación espiritual.

-El alma puede elevarse para unirse con lo divino.

-Ciertos símbolos son de naturaleza mística.

-Todos los miembros de la hermandad deben guardar absoluta lealtad y secretismo.

La filosofía de Pitágoras guarda estrecha relación con la Escuela jónica, en cuanto a que busca resolver por medio de un principio primordial el origen y la constitución del universo visto como un todo.

El sistema filosófico post-aristotélico suele atribuirle a Pitágoras(o a los pitagóricos), la adopción del monismo, principio incorpóreo del que surgen primero “el número”, después “el plano”y las “figuras sólidas” y finalmente los “cuerpos del mundo sensible”.

En lo que tanto Platón como Heródoto llaman:“El modo de vida de los pitagóricos”, Pitágoras es visto como el formador de un grupo selecto y privado que abraza ideas religiosas, cuestiones éticas y gérmenes de ideas científicas.

Las evidencias más tempranas dejan claro que, sobre todas las cosas, Pitágoras tuvo éxito promulgando una nueva y optimista mirada sobre el destino del alma después de la muerte y un modo de vida atractiva por su rigor y disciplina que le valió numerosos seguidores.

Dicearco(siglo IV a.C.) confirma enfáticamente la evidencia a favor de un pensamiento cercano a la metempsicosis o a la reencarnación, según el cual las almas humanas renacían en otros cuerpos después de la muerte, en primer lugar al señalar las dificultades de determinar con exactitud el pensamiento de Pitágoras y después al aseverar que la más reconocida de sus doctrinas era "que el alma es inmortal y que transmigra en otros animales".

La observación de múltiples relaciones numéricas o analogías al número en los fenómenos del universo, eran la convicción de que en los números y en sus relaciones “armoniosas”, los pitagóricos encontrarían los principios absolutamente certeros del conocimiento.

Aristóteles enuncia la máxima fundamental de los pitagóricos de varias maneras, como por ejemplo:”Los números son cosas en sí”.

Espero que os haya parecido interesante, si tenéis alguna duda, podéis dejármela en los comentarios.

Gracias.

TALES DE MILETO(MATEMÁTICAS EN LA HISTORIA)

Preparando ese trabajo sobre la historia de las matemáticas que os he comentado en la entrada anterior, me he encontrado con el considerado primer matemático de la historia.
Os voy a adelantar un poco del trabajo porque este matemático realizó progresos muy interesantes para las matemáticas posteriores.


TALES DE MILETO

NOTA:Los datos biográficos de Tales de Mileto son una mezcla de opiniones, hechos atribuidos a su persona, y citas con mayor o menor grado de verosimilitud, recogidas de diversos autores de épocas bastante posteriores, reinterpretados y expuestos a la luz de la mentalidad del narrador, por lo que no tengo la certeza absoluta de que todo lo dicho a continuación sea cierto.

¿Quién fue Tales de Mileto?

Tales de Mileto fue un filósofo, matemático, geómetra, físico y legislador griego.

Fue el iniciador de la Escuela de Mileto a la que pertenecieron también Anaximandro (su discípulo) yAnaxímenes (discípulo del anterior).

Fue uno de los siete sabios de la antigua Grecia y el primero en enunciar resultados generales referidos a los objetos matemáticos.

Nacimiento

Tales nació en la ciudad de Mileto 624 a. C., una antigua ciudad en la costa occidental de Asia Menor cerca de la desembocadura del río Menderes.

Era hijo de Euxamias y de Cleobulinas y quizás tuvo ascendencia fenicia.

Vida de Tales de Mileto

Es probable que Tales visitara Egipto en alguna etapa de su vida, y allí podría, por un lado, haber recibido enseñanzas de los sacerdotes, y por otro, las enseñanzas que los egipcios habían desarrollado a un nivel práctico con el fin de medir y delimitar las parcelas de tierra cuyos límites solían borrarse con las continuas crecidas del río Nilo.

De hecho una de las leyendas y/o anecdotas de su vida fue el descubrimeinto de la longitud de la pirámide de Keops "jugando" con las sombras y de la cual aparecería su famoso "Teorema de Tales".

Otra de las anécdotas que de Tales se cuentan, dice que logró desviar el río Halys para que fuera cruzado por el ejército de Creso (modernos especialistas no descartan por completo su veracidad).

Aristóteles, por su parte, cuenta cómo una vez , habiéndosele reprochado su pobreza y su falta de preocupación por los asuntos materiales, y luego de haber previsto, gracias a sus conocimientos astronómicos, que habría una próspera cosecha de aceitunas la siguiente temporada, compró durante el invierno todas las prensas de aceite de Mileto y Quíos y las alquiló al llegar la época de la recolección, acumulando una gran fortuna y mostrando así que los filósofos pueden ser ricos si lo desean, pero que su ambición es bien distinta.

Quizás la anécdota más conocida de Tales es aquella que nos refiere Heródoto: que predijo a los jonios el año en que sucedería un eclipse solar hacia el año 585 a. C. El eclipse ocurrió, en efecto, en medio de una batalla, lo que llevó a los contendientes a detenerse y a avanzar un acuerdo de paz, por temor de que el evento fuera una advertencia divina.

También es muy conocido lo que cuenta Platón: que, al caer Tales en un pozo mientras miraba el movimiento de las estrellas, una campesina tracia se reía mientras le decía:"No ves lo que está a tus pies y quieres conocer lo que ocurre en el cielo".

A lo que el filósofo se excusaba diciendo "Que tenía ansias de conocer las cosas del cielo pero que lo que estaba justo a sus pies se le escapaba".

Muerte de Tales de Mileto
Apolodoro, en su Cronología, afirma que murió a la edad de setenta y ocho años

Sosícrates, que murió en la olimpiada LVIII, a la edad de noventa años.

Actualmente se acepta que murió cerca del año 546 a. C.

Aportación a las matemáticas de Tales de Mileto

Tales no se ocupó tanto de los números como de las figuras geométricas.

CONSIDERACIÓN DEL ÁNGULO COMO UN ENTE MATEMÁTICO:Tales afirmó que los ángulos opuestos por el vértice formado por dos rectas que se cortan, son iguales.



RELACIÓN ENTRE CÍRCULOS Y TRIÁNGULOS:Tales demostró que a cada triángulo le puede corresponder un círculo; el círculo circunscrito, aquel cuya circunferencia pasa por los tres vértices.



Es decir que para tres puntos del plano no alineados(sino sería una recta), podemos definir no solo un triángulo,que es evidente, sino también un círculo, que no es tan evidente.

RELACIONES ENTRE LONGITUDES Y ÁNGULOS:Tales demostró que un triángulo isósceles tiene dos ángulos iguales, estableciendo así una relación entre longitudes y ángulos:a lados iguales, ángulos iguales.



DIÁMETRO DEL CÍRCULO:Tales consiguió descubrir como dividir el círculo en dos partes iguales.

Necesariamente la recta que lo dividiese debía pasar por el diámetro, de ahí que toda recta que pasa por el centro de un círculo lo corta en dos partes iguales.

Gracias a este descubrimiento y su ambición por verdades absolutas se le puede considerar como el primer matemático, pero de esto hablaremos más adelante.


TEOREMA DE TALES:Tales ideó un teorema de proporcionalidad de segmentos, en el cual, un sistema de paralelas:AA', BB', CC', cortadas por dos secantes:D y D', determinan segmentos proporcionales.

Es decir, el cociente entre las longitudes de los segmentos AB y AC es igual al cociente entre las longitudes de A'B' y A'C'.

Ahora os voy a contar una curiosidad sobre Tales, y la aplicación que le dio a este teorema:









“Un sacerdote egipcio le pregunta sonriendo cuál puede ser la altura de la pirámide del rey Khufu (la pirámide de Keops). Tales reflexiona y a continuación contesta que no se conforma con calcularla a ojo, sino que la medirá sin ayuda de ningún instrumento. Se echa sobre la arena y determina la longitud de su propio cuerpo.

Los sacerdotes le preguntan qué es lo que está pensando, y Tales les explica: ‘Me pondré simplemente en un extremo de esta línea, que mide la longitud de mi cuerpo, y esperaré hasta que mi sombra sea igual de larga. En ese instante , la sombra de la pirámide de vuestro Khufu también ha de medir tantos pasos como la altura de la pirámide.’

El sacerdote, desorientado por la extrema sencillez de la solución, se pregunta si acaso no hay algún error, algún sofisma, Tales añade: ‘Pero si queréis que os mida esa altura, a cualquier hora, clavaré en la arena mi bastón.”

Tales explica como la relación entre su sombra y su altura corresponderan a la relación entre la sombra de la pirámide y su correspondiente altura.

Así, Tales únicamente debe realizar una circunferencia en la que el radio sea la altura de un bastón y posteriormente colocarlo en el centro, de esta manera, cuando la sombra toque la circunferencia, la sombra de la piramide de Keops corresponderá a su altura.

El problema es que la pirámide de Keops se ensancha desde su vértice hasta la base en la que reposa, la altura de la pirámide solo corresponde con su eje, el cual pasa exactamente por el centro de la misma, es decir, la sombra de dicho eje, en un momento determinado, corresponderá a su altura, pero habrá una parte de la sombra inaccesible, aquí se planteó un problema para Tales.


¿Cómo lo resolvió Tales?

Se dio cuenta de que solo podía medir con precisión en el momento en que los rayos fuesen exactamente perpendiculares al lado de la base, es decir, la parte oculta era igual a la mitad del lado.

Así la altura de la pirámide era igual a la longitud de la sombra más la mitad del lado.


Ahora que ya tenía esa información, simplemente utilizó su teorema para calcular la altura de la pirámide.

La sombra es la región donde no dan los rayos del sol. Se supone que los rayos que inciden en la pirámide y en el bastón son paralelos (consecuencia de la gran distancia que separa al Sol de la Tierra) y el bastón está clavado perpendicularmente al suelo.

De esta forma, los ángulos de los dos triángulos que observamos en la figura son iguales entre sí y, por tanto, dichos triángulos son semejantes. En dos triángulos semejantes, se cumple que sus lados homólogos son proporcionales.

En nuestro caso, se cumple que:



Supongamos ahora que a una hora determinada del día, la sombra de la pirámide medía 280 metros, la sombra del bastón medía 2,87 metros y dicho bastón era de 1,5 metros. Según lo que hemos visto antes, tendríamos que:



De donde obtenemos:


Que es el valor aproximado que tenía la pirámide de Keops en la antigüedad (actualmente 136,86 m).

El método de Tales tiene una enorme utilidad, puesto que lo podemos emplear para averiguar la altura de cualquier objeto por muy grande que sea.


Pensamiento filosófico de Tales de Mileto

La explicación universal y racional que sostuvo Tales fue que el agua es origen de todas las cosas que existen, el elemento primero.

En cuanto al alma, la considera como dadora de vida, movimiento y divina. Como en la época en la que vive, todavía no se diferenciaba entre seres vivientes y no vivientes.

Tales atribuye vida al agua, porque como el agua se mueve sola (véanse los mares o los ríos), esta debe tener alma, puesto que el alma es lo que hace moverse las cosas.

Y también es divina (está llena de dioses) porque el alma es divina para él. “Así por lo tanto, el agua para Tales es, el origen de todo, está llena de dioses y tiene vida propia”.

Y de manera parecida que con el agua, razona para con las piedras imán. Como estas se mueven solas, piensa que están vivas, o que “hay algo vivo en ellas”.

Tales sostenía que la tierra sobre la que pisamos es una especie de isla que “flota” sobre el agua de forma parecida a un leño y por ello la tierra a veces tiembla al, como él decía no estar sostenida sobre unas bases fijas sino que está flotando sobre el agua, eso la hace tambalearse.



Espero que os haya parecido interesante, pronto habrá más matemáticos y teoremas que expondré en mi blog, estad atentos.
Gracias.

¿Existen las matemáticas en la poesía?

Posiblemente sí, la sucesión de Fibonacci se encuentra en casi todo lo que te rodea. Jajajaja.
Bueno, últimamente parece que mi blog está más parado que de costumbre dado que ahora mismo tengo vacaciones de semana santa, no obstante estoy preparando una entrada especial en la que viajaremos a través de la historia de las matemáticas y conoceremos a todos los matemáticos famosos y sus teorías, teoremas o conjeturas, aún así es pronto para que veáis la entrada.

El día 21 de marzo fue el día mundial de la poesía, y por supuesto, nuestro profesor nos ha mandado escribir una serie de poesías características respecto a la asignatura de matemáticas.
Creo que ya he relacionado esta asignatura con el cine y la música, pues ahora toca la poesía.
Nuestro profesor nos ha mandado hacer tres poesías características que son:Acróstico, Epigrama y el Haiku.
Buscad en internet las características de cada uno si queréis.

ACRÓSTICO
Mírala, por ahí va.
Antaño un mundo triste sin su saber.
Traela, no la dejes ir.
En tu cabeza puede vivir.
Mírala, no la dejes escapar.
Aquel que no la quiere la deja ir.
Tienes que conocerla, es vital.
Inteligencia crece con su ser.
Crees que es fácil entenderla.
Así han fracasado muchos en su conocer.
Su nombre en este acróstico escrito es.

EPIGRAMA
Existe pero no existe.
La ves, pero estás ciego.
Cuando crees que está en el agua,
ella se encuentra en el fuego.
No la conoces, pero te la han presentado.
¿Crees que esto es sencillo?
Eres un necio, sin ella no habrías existido.

HAIKU
¿Matemáticas?¿Qué es eso?,
pregunta el universo.
Es tu nacimiento.

Espero que os hayan gustado, no creo que sea muy difícil saber de lo que hablo.
Si tenéis dudas, cosa que dudo, podéis dejármelas en los comentarios.
Gracias.

OPERACIONES CON FUNCIONES(SUMA, RESTA, PRODUCTO POR ESCALAR Y COCIENTE)

SUMA:

PROPIEDADES:
-Conmutativa.
-Asociativa.
-Elemento neutro(función constante 0).
-Elemento simétrico/opuesto(-f(x)).



RESTA:Suma de opuestos.



PRODUCTO POR ESCALAR:

PROPIEDADES:

-Conmutativa.

Asociativa.

-Elemento neutro(función constante1).

-Elemento simétrico/inverso.

COCIENTE:

Si tenéis alguna duda, podéis dejármela en los comentarios.
Gracias.