NÚMEROS COMPLEJOS

Vamos a hacer un repaso completo y exhaustivo de los número complejos.
Principalmente de los imaginarios con la unidad imaginaria i.
Recordemos que los número imaginarios, no se consideran números reales y por tanto no están en dentro de esa clasificación pero si dentro de la de números complejos.

La unidad imaginaria es el número √-1 designado por la letra i.
Un número imaginario se denota por bi, donde "b" es el número real e "i" la parte imaginaria.

Potencias de la unidad imaginaria:
Los valores se repiten de cuatro en cuatro, por eso, para saber cuánto vale una determinada potencia de i, se divide el exponente entre 4, y el resto es el exponente de la potencia equivalente a la dada.
i⁰ = 1
i¹ = i
i² = −1
i³ = −i
i⁴ = 1

Números complejos en forma binómica:
Al número: a+bi le llamamos número complejo en forma binómica donde el número a es la parte real del número complejo y el número bi la parte imaginaria.
Los número complejos a+bi y -a-bi se llaman opuestos mientras que los números complejos z=a+bi y z=a-bi se denomina conjugados.

Operaciones con números complejos
Suma y diferencia: La suma y diferencia de números complejos se realiza sumando y restando las partes reales y las partes imaginarias entre sí, respectivamente.
Producto: El producto de los números complejos se realiza aplicando la propiedad distributiva del producto respecto de la suma y teniendo en cuenta que i² = −1.
División:El cociente de números complejos se realiza multiplicando numerador y denominador por el conjugado de este.

Módulo de un número complejo
El módulo de un número complejo es el módulo del vector determinado por el origen de coordenadas y su afijo. Se designa por |z|.

Argumento de un número complejo
El argumento de un número complejo es el ángulo que forma el vector con el eje real. Se designa por arg(z).
Para calcular el argumento, calculamos el arcotangente de b/a prescisdiendo de los signos, cuando hagamos ejercicios ya veremos en que cuadrante se encuentra.

Expresión de un número complejo
z = r_α

Donde r es el módulo y alfa el argumento.

Mañana seguiremos viendo más cosas relacionadas con los números complejos.

Si tenéis alguna duda, podéis dejármela en los comentarios.

Gracias.

ESPACIOS, SUBESPACIOS Y SUBCONJUNTOS EN R

Hoy vamos a hablar de algunas cuestiones algebraicas muy interesantes, vamos a empezar hablando de lo que es un espacio en R.
Un espacio es principal y llanamente un conjunto de dos operaciones.

Vamos a señalar unas cosas aquí; todas las transformaciones que hemos realizado son las definiciones de suma, producto o propiedad distributiva que todos conocemos: además decimos que las transformaciones son cerradas, es decir, hagamos lo que hagamos el resultado estará siempre en el mismo plano.

Ejemplos de espacio:
-En Rn: Según el valor de n, obtendremos las dimensiones correspondientes, después según las dimensiones obtenidas, tenemos un vector con coordenadas x1, x2, x3 que podemos sumar con otro vector o multiplicarlo por un escalar.
Como podéis observar en la imagen, hemos realizado las operaciones básicas de suma y producto por un escalar.

-Con matrices cuadradas de orden 2 con coeficiente en R; M(2,R):

Existen ejemplos también con matrices cuadradas con coeficiente en k o con polinomios pero sobreentiendo que se sepa sumar o multiplicar por un escalar las matrices o los polinomios.

Vamos a hablar ahora de los subconjuntos y los subespacios.
Primero comentemos que es una combinación lineal:
Sea E un k-espacio vectorial.
Sean e1, e2, ..., en pertenecientes a E, vectores de E.
Llamaremos combinación lineal de los vectores e1, e2, ...., en a una expresión de la forma:

para ciertos escalares xi perteneciente a k sabiendo que (i=1, 2,...n)

Hay que comentar que a la multiplicación por escalares se la denomina dilatación.

Y, como hemos comentado antes, que la suma y el producto sean cerrados significa que aunque sumes o multipliques el resultado se encontrará en el mismo lugar que su anterior.

Bien, sea E un k-espacio vectorial.

Un subconjunto V perteneciente al espacio E es un subespacio de E solo si es cerrado por combinaciones lineales.

Es decir, si:

Más adelante seguiremos hablando de esto y haremos ejercicios para probar si un subconjunto es un subespacio de algún espacio.

Si tenéis alguna duda, podéis dejármela en los comentarios.

Gracias.

CONMUTADOR Y ANTICONMUTADOR

Hoy vamos a hablar de unas operaciones a las que denominaremos conmutador y anticonmutador.
Estas operaciones son muy utilizadas en los ámbitos de la mecánica cuántica y de la mecánica de matrices sobre todo.
Y su utilidad empieza en el momento en el que no puedes usar la propiedad conmutativa en algunas operaciones.

CONMUTADOR
[A,B] = AB - BA
Esto es un conmutador.

La definición presupone que en las cantidades A y B no se puede aplicar la propiedad conmutativa porque no son intercambiables, sólo se les puede aplicar la propiedad asociativa, por ejemplo:
A·(BC) = (AB)·C

Como en sí no tiene mucha más gracia esto, vamos a hacer algunos ejercicios.

Demostrar las siguiente relaciones:

1) [A+B,C] = [A,C] + [B,C]

Bien, este ejercicio es fácil siguiendo la definición de conmutador

[A+B,C]=(A+B)C-C(A+B)

AC+BC-CA-CB

[A,C] + [B,C]

2) [A,BC] = [A,B]C + B[A,C]

Procedemos a su realización, pero vamos a demostrarlo empezando por el resultado final.

[A,B]C + B[A,C]=(AB-BA)C+B(AC-CA)

ABC-BAC+BAC-BCA

[A,BC]

3) [A,[B,C]] + [B,[C,A]] + [C,[A,B]] = 0

Este es muy fácil, procedamos a realizarlo.

[A,[B,C]] + [B,[C,A]] + [C,[A,B]]

[A,BC-CB]+[B,CA-AC]+[C,AB-BA]

ABC-ACB-BCA+CBA+BCA-BAC-CAB+ACB+CAB-CBA-ABC+BAC=0

Una vez visto el conmutador, vamos a pasar a ver el anticonmutador.

ANTICONMUTADOR

El anticonmutador consiste en otra manera de definir a la expresión matricial en la cual se define no a la diferencia de los productos matriciales sino a la suma de los mismos, a la cual se le llama el anticonmutador, utilizando corchetes en lugar de los paréntesis cuadrados.

{A,B} = AB + BA

Como antes, vamos a poner algún ejemplo

Demostrar la siguiente relación:

[JK, LM] = J{L,K}M + {L,J}MK - JL{M,K} - L{M,J}K

Procedamos a resolverlo:

[JK, LM]=JKLM-LMJK

JLKM+JKLM-JLKM-LMJK-LJMK+LJMK+LJMK-LJMK+JLMK-JLMK-JLMK+JLMK+JLKM-JLKM

J{L,K}M + {L,J}MK - JL{M,K} - L{M,J}K

Las letras en rojo muestran lo añadido para desarrollar la ecuación, sabiendo que añadiendo su suma y su resta la ecuación se mantiene igual.

Espero que esta entrada os haya servido.

Los conmutadores y anticonmutadores como ya he comentado antes están muy relacionados con la mecánica de matrices y nos va a servir especialmente para resolver o entender una de las fórmulas más importantes de Max Born estando esta, íntimamente relacionada con la mecánica de matrices de Werner Heisemberg, pilar fundamental de la física cuántica.

Esta entrada la subiré en poco tiempo a mi blog de física dejando aquí el enlace a la misma.
LA EXTRAÑA ECUACIÓN DE MAX BORN

Ante cualquier duda, podéis dejarla en los comentarios.

Gracias.

FIN DEL CURSO MATEMÁTICO, ¿FIN DE LAS MATEMÁTICAS?

He terminado 1ºBachillerato.
Sé que este blog se ha abandonado un poco últimamente debido a que llegaron los exámenes finales y ahora que ha acabado el curso se ha abandonado por unas semanas de descanso.

Ha sido un curso interesante,hablando desde el punto de la asignatura de matemáticas obviamente.
Hemos aprendido muchas cosas, aunque este blog empezase sus días un poco falto de contenido.

Hemos atravesado todas las facetas de las matemáticas, deteniéndonos en algunos puntos importantes de cada una.
Hemos realizado ejercicios y hemos mostrado esquemas y diagramas.
Además este blog siempre ha servido como instrumento de abertura  de mentes hacia distintos conceptos.
Así, hemos podido tener reflexiones y hemos comentado distintos puntos de vista.
También hemos viajado por la pura historia de las matemáticas o hemos visto sus curiosidades.

Me he divertido y he aprendido mucho haciendo este blog, no solo matemáticas, y espero que vosotros también.

Y ahora, ¿se va a acabar el blog?
Obviamente mi ratio de entradas bajará considerablemente, no olvidemos que estamos en verano,pero no desaparecerá, así que permaneced atentos.

Recordad también que tenéis todos los apartados vistos y las cosas dadas al inicio del blog en la parte superior, perfectamente ordenado.

Desearos feliz verano y que sigáis disfrutando de las matemáticas.

SIR FRANCIS GALTON(MATEMÁTICAS EN LA HISTORIA)

Hoy vamos a hablar de Sir Francis Galton, ¿quién fue esta persona?

Francis Galton fue un polímata, antropólogo,geógrafo, explorador, inventor, meteorólogo, estadístico, psicólogo y eugenista británico con un amplio espectro de intereses.

No tuvo cátedras universitarias y realizó la mayoría de sus investigaciones por su cuenta. Sus múltiples contribuciones recibieron reconocimiento formal cuando, a la edad de 87 años, se le concedió el título de sir o caballero del Reino.

De intereses muy variados, Galton contribuyó a diferentes áreas de la ciencia como la psicología, la biología, la eugenesia, la tecnología, la geografía, la estadística o meteorología. A menudo sus investigaciones fueron continuadas dando lugar a nuevas disciplinas.

                                                 

Hablemos de esas investigaciones, fue una persona que obtuvo muchísimos descubrimientos, además se le recuerda como una persona que era capaz de medirlo todo.

En 1844, y una vez concluidos sus estudios, Francis Galton se embarcó, al igual que su primo el legendario Charles Darwin, en una serie de viajes por África y Europa que le sirvieron para escribir varios libros acerca de sus experiencias como explorador.

En el campo de la Biología, y ya reflejando su obsesión por los aspectos hereditarios que marcaron sus investigaciones, Galton refutó la teoría de la pangénesis e incluso llegó a formular la Ley de Galton de la herencia ancestral.

Vamos con sus descubrimientos matemáticos, Galton necesitaba una base científica para evaluar los datos recogidos en sus investigaciones, por lo que decidió, como si fuese fácil, crear la ciencia que me ha llevado de cabeza en los últimos años: La Estadística.

Algunas de las cuales fueron tan asombrosas como:

1) Investigaciones estadísticas sobre la eficacia de las oraciones.

Uno de los trabajos de Galton que más polémica causó fue el estudio de la eficacia de rezar a Dios. Dado que los miembros del clero se pasaban la vida rezando, y con el mazo dando, Galton intentó correlacionar ese hecho con una expectativa de vida más prolongada….nada más lejos de la realidad.

2) En 1897 publicó en la revista Nature un trabajo sobre la longitud que debía tener una sogapara que, durante el ahorcamiento, rompiera el cuello de un criminal sin decapitarlo.

3) Como buen inglés estaba obsesionado con laforma correcta de preparar el té…pero se le fue la mano y, en un intento de elaborarlo de una forma muy “científica”, Galton confeccionó untermómetro especial que le permitía controlar constantemente la temperatura del agua dentro de la tetera llegando a la conclusión de que el té tiene un cuerpo completo, sabor pleno y no es amargo cuando el agua en la tetera se mantieneentre 82 ºC y 88 ºC….

4) Uno de las “grandes gestas” de Sir Francis fue publicar, ni más ni menos que en la mejor revista científica del mundo, un estudio titulado “Cortar una tarta redonda con principios científicos”

Está claro que fue un personaje extravagante, pero aún así es increíble la capacidad para conocer tantas ciencias y aplicarlas en ámbitos tan diversos.

Si tenéis alguna duda, podéis dejármela en los comentarios.

Gracias.

PROBLEMA DE TRIGONOMETRÍA

Vamos a hacer un problema de trigonomentría que os podría entrar en cualquier examen de matemáticas.
Espero que os sea útil.


Debemos calcular la altura de la torre.








Vamos a empezar a calcular la distancia:QP, para poder sacar la altura de la torre.

Para ello, usaremos el teorema de los senos, que podéis ver en el siguiente enlace:TEOREMA DE LOS SENOS.

QP/sen 30º=PP'/sen Q
Necesitamos sacar el ángulo de Q.

Una vez sacado ese ángulo resolvemos el QP.
QP=(PP'·sen 30º)/sen 18º
QP=83,3 metros.

Ahora hay varias maneras de continuar, pero vamos a ir a la simple; para sacar la altura seguimos con el teorema de los senos:
QR/sen 68º=QP/sen R
Saquemos el ángulo de R.

Una vez sacado el ángulo, resolvemos QR.Recordemos que QP es 83,3 metros.
QR=(QP·sen 68º)/sen 70º
QR=82,19 metros.


82, 19 metros mide la torre.
Si tenéis alguna duda, podéis dejármela en los comentarios.
Gracias.

REGLA DE BARROW(INTEGRALES)

La regla de Barrow dice que la integral definida de una función continua f(x) en un intervalo cerrado [a, b] es igual a la diferencia entre los valores que toma una función primitiva F(x) de f(x), en los extremos de dicho intervalo.

EJEMPLO:

Siento no haber subido últimamente entradas, tengo muchas pendientes que subiré próximamente.

Y si tenéis alguna duda sobre esta entrada, podéis dejarla en los comentarios.

Gracias.