TEOREMA DE LOS SENOS(TRIGONOMETRÍA)

El teorema de los senos nos dice que:a/sen A=b/sen B=c/sen C;es decir,el lado a entre el seno de A es igual al lado de b entre el seno de B que es igual al lado c entre el seno de C.
¿Pero por qué ocurre esto?
Lo resolvemos.

Tenemos este triángulo escaleno;como no tiene ningún ángulo recto procedemos a dividirlo en dos triángulos rectángulos.
Una vez hecho esto calculamos el seno de A y el seno de B(no podemos calcular el seno de C,para ello tendríamos que trazar una línea recta desde el ángulo A hasta el lado a,despues lo haremos).
Como ya sabéis el seno de un ángulo se calcula dividiendo su cateto opuesto por la hipotenusa.
Por tanto:



                sen A=hc/b----->hc=b*sen A
                                                                                 

                sen B=hc/a------>hc=a*sen B
Igualamos:
                   a*sen B=b*sen A
                 
                   a/sen A=b/sen B

Posteriormente trazaríamos la línea dicha anteriormente para conseguir el seno de C,y conseguiriamos demostrar este teorema.


Si os ha quedado alguna duda os agradecería que me la escribieseis en los comentarios,muchas gracias.

CLAUDIO PTOLOMEO DE ALEJANDRÍA(MATEMÁTICAS EN LA HISTORIA)

Matemáticas en la historia...
Hoy, Claudio Ptolomeo de Alejandría.



Claudio Ptolomeo fue astrólogo,astrónomo,geógrafo y matemático.

Lo primero que hace Ptolomeo es justificar un universo basado en el sistema geocéntrico descrito por Aristóteles. Es una visión del mundo basada en que la Tierra está fija y a su alrededor gira cada día la esfera de las estrellas fijas, llevando consigo las esferas del sol, la luna y los planetas, usando combinaciones de movimientos circulares llamados epiciclos. Una vez establecido este modelo, Ptolomeo pasa a describir las matemáticas que necesita en el resto de la obra. En particular, presenta métodos trigonométricos basados en la función Crd (cuerda) (que está relacionada con la función seno por sen a = (Crd 2a/120)).

Ptolomeo creó nuevos teoremas y demostraciones geométricas. Obtuvo, usando cuerdas de un círculo y un polígono inscrito de 360 lados, la aproximación p = 3 + 17/120 = 3.14166, y usando Ö3 = arco 60°, Ö3 = 1.73205. Usó fórmulas para la función Cuerda que son análogas a las nuestras para sen(a + b), sen(a - b) y sen(a/2) para hacer la tabla de la función cuerda a intervalos de 1/2 grado.



Esto ocupa los dos primeros libros de los trece del 'Almagesto'(Almagesto es el nombre árabe de un tratado astronómico escrito en el siglo II por Claudio Ptolomeo de Alejandría, Egipto,contiene el catálogo estelar más completo de la antigüedad que fue utilizado ampliamente por los árabes y luego los europeos hasta la alta Edad media, y en el que se describen el sistema geocéntrico y el movimiento aparente de las estrellas y los planetas).

HIPARCO DE NICEA(MATEMÁTICAS EN LA HISTORIA)

Matemáticas en la historia...
Hoy, Hiparco de Nicea.


Hiparco de Nicea fue un astrónomo,geógrafo y matemático griego.Entre sus muchas aportaciones vamos a destacar la invención de la trigonometría.

Hiparco necesitaba la trigonometría dado que estos cálculos eran muy necesarios y se necesitaban en la astronomía;Hiparco construyó una tabla de cuerdas que equivaldría a nuestra moderna tabla de senos,con la ayuda de dicha tabla, pudo fácilmente relacionar los lados y los ángulos de todo triángulo plano.
También dibujó ángulos en una esfera y los triángulos dibujados sobre la superficie de la esfera no son planos sino esféricos constituyendo la trigonometría esférica.

La trigonometría esférica es la parte de la geometría esférica que estudia los polígonos que se forman sobre la superficie de la esfera, en especial, los triángulos. La resolución de triángulos esféricos tiene especial relevancia en astronomía náutica y navegación para determinar la posición de un buque en altamar mediante la observación de los astros.

Las cuerdas fueron usadas extensivamente en el desarrollo inicial de la trigonometría

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

Para resolver un triángulo rectángulo necesitamos tener en cuenta las siguientes relaciones:
-LA SUMA DE LOS DOS ÁNGULOS AGUDOS ES 90º
-EL TEOREMA DE PITÁGORAS
-RAZONES TRIGONOMÉTRICAS ENTRE SENO,COSENO Y TANGENTE:

senB=b/a=cosC            cosB=c/a=senC          tgB=b/c           tgC=c/b




Vamos a hacer un ejercicio de prueba:
-Tenemos  un triángulo rectángulo con hipotenusa a=20m y angulo B=30º.Resolvámoslo.

EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO

SACAMOS EL ÁNGULO C

SACAMOS EL LADO B

CON PITÁGORAS SACAMOS EL LADO C

EL PROBLEMA

RAZONES TRIGONOMETRICAS DE 30º,45º Y 60º.

                                                                            45º
Para calcular las razones trigonométricas de ángulos de 45º utilizamos un triángulo rectángulo isósceles(recordemos que isósceles era aquel triángulo que tiene dos lados iguales).

razones trigonométricas de 45º

30º Y 60º

Utilizamos esta vez un triángulo equilátero(tres lados iguales),calculamos la hipotenusa como antes y tenemos:

Y ASI OBTENEMOS LOS DEL 30º

 Y LOS DEL 60º

Y asi obtenemos todas las relaciones(yo he explicado las más importantes o las que trabajaremos con mas ahínco):




Gracias y ante la duda a los comentarios.

REFLEXIÓN MALOS PROFESORES

Tengo que reflexionar sobre un texto que nos ha pasado nuestro profesor de matemáticas y que ahora  voy a colgar aquí como un enlace:
enlace

La verdad y voy a ser sincero, no se muy bien que reflexión se espera de este texto
Puedo entender, que un mal profesor no es aquel que no sigue los cánones escritos en una hoja o en un libro,sino el que no consigue atraer ni emocionar a los alumnos con su asignatura.

Es curioso  que este texto hable de un profesor de filosofía,posiblemente la asignatura más subjetiva y en la que más se nota quien la enseña deleitando y quien sigue patrones establecidos.

Personalmente yo creo que un buen profesor es aquel que enseña lo que debe pero que sabe atraer al alumno como un escritor con los lectores,siempre y cuando se deje atraer el alumno,porque no debemos olvidar que para que algo funcione tienen que poner empeño las dos partes.

Ya para finalizar y sin estar seguro de ser una reflexión como esta lo que me han pedido me gustaría hablaros de una profesora muy buena que tuve en 3 años de la ESO.
Daba lengua y además muy bien,sabía atraer a la gente con sus explicaciones,sus clases eran variadas,siempre te motivaba a esforzarte más y más en cada ejercicio,trabajo o examen que te pusiese,sabía enfadarse cuando se requería pero su carácter era amable y sus explicaciones muy buenas
Esto no quita para que haya tenido o tenga buenos profesores, pero en particular ella me gustó mucho.

Bueno,gracias por todo y si tenéis dudas de esta u otra entrada ponédmelo en los comentarios
A disfrutar de las reflexiones.

TRIGONOMETRÍA,razones trigonométricas de un ángulo agudo.

Vamos a empezar con la trigonometría amigos,la trigonometría es el estudio de las razones trigonométricas como serian el seno,coseno,tangente,cotangente,secante y cosecante.

Antes de empezar a ver estas razones trigonométricas seria interesante hablar un momento de los ángulos,¿Con que unidad los medimos?:La mayoria diréis que los ángulos se miden en grados,minutos y segundos y no esta mal dicho pero mejor utilizamos el sistema internacional;los radianes¿Que es un radián?Un radián es el angulo central de una circunferencia que abarca un arco de igual longitud que el radio de la misma,es decir que si nosotros tenemos una circunferencia de radio R un radián es el ángulo que abarca un arco de longitud R.

UN RADIAN

Pero claro necesitamos establecer unas relaciones entre grados y radianes,

360º corresponden a 2π  radianes,pensad que una circunferencia tiene 360º,y ¿cuál es la longitud de la circunferencia?,pues  2π ,ya tenemos establecida la relación,ahora vamos a relacionar los ángulos mas conocidos y con los que más trabajaremos.

                                                         360º=2π radianes

                                                         180º=π radianes

                                                         90º=π/2 radianes

                                                         60ª=π/3 radianes

                                                         45º=π/4 radianes

                                                         30º=π/6 radianes

                                                         0º=0 radianes

Bueno,ahora que por fin sabemos que es un radián y tenemos establecidas las relaciones con los ángulos es hora de meterse en las razones trigonométricas de un ángulo agudo.

Para comenzar diremos que un ángulo es agudo cuando se encuentra entre 0 y π/2 radianes sin contar los π/2 radianes que serían un ángulo recto.

Las relaciones son simples:(& con este simbolo nos referiremos a un ángulo):

                             sen&= cateto opuesto/hipotenusa

                             cos&=cateto contiguo/hipotenusa

                             tg&=cateto opuesto/cateto contiguo

                      cosec&=hipotenusa/cateto opuesto      1/sen&

                      sec&=hipotenusa/cateto contiguo         1/cos&

                      cotg&=cateto contiguo/cateto opuesto  1/tg&

Principalmente todas estas relaciones sirven para calcular las medidas de los lados y ángulos,partiendo de que ahora siempre utilizamos angulos rectos necestamos saber minimo un lado y otro angulo para poder calcular lo demás.

Bueno como siempre ante la duda,en los comentarios muchas gracias.