EJERCICIO EXAMEN(EL CLAUSTRO)

Se quiere reconstruir la ubicación y las dimensiones de un claustro de forma cuadrada desaparecido y del que se ha encontrado su pozo. Se tienen dudas de la ubicación del pozo en relación al claustro pero se sabe que dicho pozo distaba 30, 40 y 50 m de las esquinas del claustro.

Vamos a realizar el problema:

Me he planteado realizar el teorema del coseno.

Cómo podéis observar en la foto, en una operación nos quedaría el coseno de un ángulo, y en la otra el de 90º menos el ángulo dicho.

Recordemos que el coseno de 90º menos un ángulo cualquiera, es el seno de ese ángulo.

Después utilizamos la verificación de: sen²+cos²=1.

Al final nos queda,como podéis ver en la foto,dos resultados.

Lógicamente nos quedamos con 56,54 metros, ya que la otra medida nos dejaría el pozo fuera del claustro.

Gracias,las dudas ponedlas en los comentarios.

TEOREMAS DE ADICIÓN(TRIGONOMETRÍA)Seno de la suma de dos ángulos.

Razones trigonométricas de la suma de dos ángulos:

SENO DE LA SUMA DE DOS ÁNGULOS
Visualizando la figura que está a la derecha nos damos cuenta de que:
sen(a+b)=AR+RP=CB+RP

Calculamos las medidas de los segmentos CB y RP:
sen a=CB/OB---->CB=OB*sen a
cos b=OB/1------>OB=cos b
Lo que nos daría una solución así:CB=sen a*cos b

Procedemos a calcular ahora el segmento RP:
cos a=RP/PB------>RP=P*cos a
sen b=PB/1-------->PB=sen b
Lo que nos daría una solución así:RP=sen b*cos a

Por lo tanto llevando estas expresiones a la primera igualdad nos quedaría el seno de la suma de los dos ángulos:
sen(a+b)=sen a*cos b+sen b*cos a


EJEMPLO:Vamos a determinar las razones trigonométricas de un ángulo de 75º.
sen 75º=sen(45º+30º)=sen 45º*cos 30º+sen 30º*cos 45º=√2/2*√3/2+1/2*√2/2=√6/4+√4/4.

Si no recuerdas las razones trigonométricas de los ángulos mas conocidos,aquí te dejo un enlace:

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

Próximamente subiré el resto de razones trigonométricas de la suma de dos áangulos,si habéis tenido alguna duda por favor dejádmela en los comentarios,gracias.

JUEGO DE LAS ÁREAS

¿Cuál de las dos zonas tiene mayor superficie,la luna o el triángulo?



Dejadme en los comentarios vuestra solución,me gustaría que viniese junto con vuestro proceso o un resumen de él,gracias.

RESOLUCIÓN DE UN TRIÁNGULO CUALQUIERA

Para resolver un triángulo cualquiera necesitamos tener en cuenta las siguientes relaciones entre los elementos de dicho triángulo.
1-LA SUMA DE SUS ÁNGULOS ES IGUAL A 180º.
2-EL TEOREMA DE LOS SENOS.
3-EL TEOREMA DEL COSENO.
Con estas tres relaciones podremos resolver cualquier triángulo.
Vamos a realizar 3 ejemplos:

EJEMPLO 1

Como podemos observar se trata de un triángulo en el que conocemos dos ángulos y un lado.
¿Qué pasos realizariamos en este caso?
-Para empezar hallariamos el ángulo que nos falta restando 180º menos los grados de los otros dos ángulos.
A=60º
B=40º
C=180º-(60º+40º)
-Ahora que ya tenemos los tres ángulos es muy facil calcular los lados con el teorema de los senos ya que para realizar el teorema del coseno necesitamos conocer mínimo dos lados.
ENLACE TEOREMA DE LOS SENOS.

a/sen 60º=5/sen 80º------>a=4,40 metros.
5/sen 80º=b/sen 40º------>b=3,26 metros.

EJEMPLO 2

En este caso observamos un triángulo en el que conocemos dos lados y un ángulo.
¿Qué podríamos hacer en este caso?
-Como bien he dicho antes si conocemos dos lados y al menos un ángulos podemos utilizar el teorema del coseno.
ENLACE TEOREMA DEL COSENO
a=√b²+c²-2bc•cos A(la raíz cuadrada acoge toda la operación)
a=√7²+10²-2•7•10•cos 40°=3,26 metros.
-Una vez obtenido el lado a podemos obtener los distintos ángulos con el teorema del coseno también,únicamente habría que despejar el coseno del ángulo que deseemos en vez del lado a.
O podemos obtener también esos lados con es teorema de los senos de nuevo.
3,26/40=7/sen B----->B=44º8´
-Para terminar restamos la suma de los dos ángulos a 180 y ya lo tendriamos.
C=180º-(44º8´+40º)=95º52´


EJEMPLO 3

En este triángulo podemos observar que tenemos los tres lados pero ningún ángulo,por tanto...
¿Qué debemos hacer aquí?
-Sencillo,utilizamos el teorema del coseno para calcular los tres ángulos.
cos A=b²+c²-a²/2bc
cos A=20²+40²-35²/2*20*40
A=61º21´
Ahora simplemente hacemos lo mismo con el resto de los ángulos o utilizamos el teorema de los senos como hicimos en el ejemplo anterior.
Nos quedaría:
B=30º
C=88º58´


Si tenéis alguna duda o deseáis que suba algo específico al blog,no dudéis en ponérmelo en los comentarios.Gracias.

Fórmula de Herón

  La fórmula de Herón halla el área de un triángulo del cual se conocen todos sus lados.   

  El área se calcula a partir del semiperímetro(p) del triángulo  y de la longitud de los lados        (a, b y c).

Fórmula de Herón

Para calcular el semiperímetro utilizamos esta fórmula:

Fórmula para calcular el semiperímetro

Si tenéis alguna duda por favor dejádmela en los comentarios.

Mapa histórico.(MATEMÁTICAS EN LA HISTORIA).

A continuación os dejo con este mapa en el que se ven reflejados algunos de los más grandes matemáticos de la historia.Os dejo los enlaces de alguno de estos matemáticos para que podáis ver algunas de sus aportaciones a dicha ciencia.
HIPARCO DE NICEA
CLAUDIO PTOLOMEO DE ALEJANDRÍA

TEOREMA DEL COSENO(TRIGONOMETRÍA)

Hoy vamos a demostrar el teorema del coseno.
El teorema del coseno nos dice que:
-:a²=b²+c²-2bc•cos A
-:b²=a²+c²-2ac•cos B
-:c²=a²+b²-2ab•cos C

En este triángulo lo cortamos por el ángulo C y obtenemos dos triángulos rectángulos,
Hacemos por ejemplo el teorema de Pitágoras del triángulo de la derecha:
a²=m²+hc²=(c-p)²+(b²-p²)=c²+p²-2cp+b²-p²=c²+b²-2cp=c²+b²-2cb cos A.
Podemos llegar a expresiones análogas trazando las alturas ha y hb,correspondientes a los vértices A y B, respectivamente.

Este teorema se utiliza en todos aquellos casos en los cuales intervienen triángulos de los que conocemos más lados que ángulos.En los otros casos utilizaremos el teorema de los senos.


Si tenéis alguna duda podéis ponerlo en los comentarios.