EJERCICIOS GEOMETRÍA VECTORIAL.(PARTE 2).

5-Tenemos el módulo de /W->/=15.

REALIZACIÓN

6-

7-Sean v-> y w-> dos vectores unitarios.Demuestra que el vector suma de ambos es ortogonal al vector diferencia de ambos.

Si son unitarios sabemos que su módulo es 1.
Por tanto haciendo el producto escalar:(v->+w->)·(v->-w->)=/v->/²-/w/²:producto escalar es 0 y los vectores perpendiculares.

Si tenéis alguna duda, por favor, dejádmela en los comentarios.
Gracias.

LUGARES GEOMÉTRICOS.CÓNICAS.

Lugar geométrico:Un lugar geométrico la figura que forman un conjunto de puntos que satisfacen determinadas condiciones o propiedades geométricas.
Mediatriz de un segmento:La mediatriz de un segmento es la línea recta perpendicular a dicho segmento trazada por su punto medio. Equivalentemente, se puede definir como el lugar geométrico, la recta, cuyos puntos son equidistantes a los extremos del segmento.
Es decir, si tenemos un segmento con extremos A y B, el punto que equidistan de los dos, funcionaría como la mediatriz trazada, y cualquier punto de esa mediatriz se situará equidistante a los puntos A y B.
La calculamos con el punto, recta:d(P, A)=d(P, B).

Bisectriz de un segemento:La bisectriz de un ángulo es la recta que pasa por el vértice del ángulo y lo divide en dos partes iguales. Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan (están a la misma distancia) de las semirrectas de un ángulo.
Si tenemos dos rectas, los puntos geométricos se calculan como:d(P,r)=d(P,s).

Empezamos con un nuevo tema matemático, seguid atentos.
Si tenéis alguna duda, dejádmela en los comentarios.
Gracias.

EJERCICIOS GEOMETRÍA VECTORIAL.(PARTE 1)

a)Si sabemos que su origen es el punto A(5, 2), y sabemos que sus coordenadas son:(3, 2), no tenemos más que recordar que para hallar las coordenadas de un vector fijo, es necesario restar las coordenadas del extremo a las del origen, y si aquí tenemos todos los datos excepto las coordenadas del extremo, no hay más que hacer lo que comúnmente llamamos despejar,

(a2,b2)=(5,2)+(3,2)---->((5+3),(2+2))---------->Lo que nos da unas coordenadas del extremo:(8,4).

b)Sería hacer prácticamete lo mismo, solo que esta vez habría que "despejar" las coordenadas del origen.

(a1,b1)=(0,3)-(-4,5)----->((0+4),(-3-5))---------->Lo que nos daría unas coordenadas del origen:(4,-8).

a)/v->/ sabemos que esto se calcula: √a²1+√b²1,(√(1²+5²)) así que la solución es: √26.
/w->/;(√(-3²+4²)) así que la solución es:5.
/u->/;(√(5²+12²))así que la solución es:13.

b)Se utiliza esta fórmula:

fórmula ángulo de dos vectores

   -cos(v->,w->)=17/(5√26).

   -cos(v->,u->)=65/(13√26).

   -cos(w->,u->)=33/65.

c)Utilizamos la fórmula y nos queda:

   -(v->,w->)=48º10'47"

   -(v->,u->)=11º18'36"

   -(w->,u->)=59º29'33"

d)Sumamos y restamos los orígenes y los extremos:

  -v->+w->-u->=(-7,-3).

e)Multiplicamos:

   v->(-3,-15).

f)Un vector normal es aquel ortogonal a otro, en este caso:

   el vector normal a w->(-3,4), es otro z->(4,3).

Halla el producto escalar en los siguientes casos

a)v->·w->=/v->/·/w->/·cos(v->,w->)=4·6·cos 45º=12√2=16,96.

b)v->·w->=/v->/·/w->/·cos(v->,w->)=3·3·cos 60º=9/2=4,5.

c)v->·w->=(3,-4)·(-12,-5)=-16.

d)v->·w->=(-3,4)·(15,-20)=-125.

4-Un paralelogramo tiene tres vértices en los puntos de coordenadas (-1,1);(0,-1) y (3,2).Halla las coordenadas del cuarto vértice.¿Cuántos resultados puedes obtener?

Como sabemos que es un paralelogramo, sumamos las dos primeras coordenadas para saber la distancia del vector, y se lo restamos a la tercera coordenada y nos da el cuarto punto.

A+B=(-1,2) en valor absoluto.

(-1,2)-C=(4,0).Pero si sumamos; nos da otro resultado:(-1,2)+C=(2,4).

Seguiré subiendo ejercicios en los próximos días, si tenéis dudas, por favor, dejádmelas en lso comentarios.

Gracias.

POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS EN EL PLANO.

Dos rectas en el plano pueden ser:

• Secantes; si se cortan en un punto.

• Paralelas;si no tienen ningún punto en común.

• Coincidentes; si tienen todos sus puntos comunes.

Hay tres maneras para estudiar que posición tiene la recta, debemos visualizar y resolver el sistema formado por sus ecuaciones.

Si obtenemos una solución, las rectas son secantes; si no obtenemos soluciones, las rectas son paralelas; y si encontramos infinitas soluciones, las rectas son coincidentes.

r:Ax+By+C=0

s=A'x+B'x+C=0

Resolvemos:

(A'-AB')x=BC'-B'C                  

(A'B-AB')y=AC'-A'C

RECTAS SECANTES: Si A'B-AB' distinto de 0, la ecuación tiene solución única y las rectas son secantes.

r y s son secantes<-->A'B-AB' distinto de 0; o A/A' distinto de B/B'.

RECTAS PARALELAS:Si A'B-AB'=0 y AC'-A'C distinto de 0, la ecuación no tiene soluciones y, por tanto, las rectas son paralelas:

r y s son paralelas<-->A/A'=B/B' distinto de C/C'.

RECTAS COINCIDENTES:Si A'B-AB'=0 y AC'-A'C=0, la ecuación tiene infinitas soluciones y, por tanto, las rectas son coincidentes:

r y s son coincidentes<-->A/A'=B/B'=C/C'.

Ejercicio:

Estudiemos las posiciones relativas de los siguientes pares de rectas:

1-r:2x+5y-4=0

   s:4x+10y+3=0

    No existen soluciones, por tanto son paralelas.

    2/4=5/10 distinto -4/3.

2-r:x-2y+3=0

   s:-2x+4y-6=0

  Tiene soluciones infinitas, por tanto, son coincidentes.

  1/2=-2/4=3/-6

3-r:4x+y-6=0

   s:x-3y-8=0

   Tiene soluciones, las cuales son x=2; y y=-2.

   4/1 distinto de 1/-3, por tanto, las rectas son secantes.

Si tenéis alguna duda, podéis dejármela en los comentarios.

Gracias.

ECUACIONES CONTINUA Y GENERAL DE LA RECTA.

ECUACIÓN CONTINUA DE LA RECTA
Obtenemos la ecuación continua a partir de las ecuaciones paramétricas:
¿Qué son las ecuaciones paramétricas?
-Son aquellas de una determinada recta que pasa por un determinado punto P0(x0,y0) y que tienen como vector director v->(a, b),(sabiendo que ese vector v es distinto de 0 y que hemos tomado anteriormente un sistema de referencia, que para nosotros siempre es el (0,i->.j->)).
x=x0+ta
y=y0+tb      t es un parámetro, y está dentro de los números reales.

La ecuación continua de la recta no sería más que hacer lo que comúnmente denominamos despejar la t.
Obtendriamos:

(x-x0)/a=(y-y0)/b
Es decir, sería una ecuación  de una recta determinada que pasaría por un punto fijo, y que tendría como vector a y b distintos de 0, con un sistema de referencia fijado anteriormente.
¿Qué rectas no tienen ecuación continua?
Las de las paralelas al eje x y al eje y puesto que la ecuación daría 0, comprobadlo.

ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA
Despejemos de la ecuación continua por un lado la a, y por otro la b:
b(x-x0)=a(y-y0).
bx-ay+ay0-bx0=0
Tomamos;A=b, B=-a, C=ay0-bx0.
Ecuación general:Ax+By+C=0.



Si tenéis alguna duda, podéis dejármela en los comentarios.
Gracias.

REFLEXIÓN EXPOSICIÓN"¿SE PUEDE COMPUTAR TODO?".

El otro día tuvimos una charla en mi instituto de manos del catedrático Luis María Abia Llera.

Nos habló acerca de conceptos que revolucionaron las matemáticas entonces, por ejemplo la máquina de Turing o las metamatemáticas y la teoría de conjuntos.

En sí la presentación estuvo interesante, con pequeñas anécdotas divertidas acerca de algún metamatemático que daba sus clases con ese lenguaje(matemático), con vídeos de explicaciones e incluso pequeñas máquina de Turing para descifrar.

En definitiva una exposición bien preparada, y bastante interesante.

Muchas gracias al catedrático por su tiempo.




Si no sabéis muy bien de que os estoy hablando, aquí os dejo enlaces a los diferentes temas expuestos y a la entrevista que realicé al ponente, y si después, tenéis alguna duda, por favor, dejádmela en los comentarios.

Gracias.




ENLACE MÁQUINA DE TURING

ENLACE METAMATEMÁTICAS

ENLACE ENTREVISTA AL CATEDRÁTICO


Podéis descargar una explicación (documento PDF) de la máquina universal de Turing elaborada por Alvy Ray Smith y que el ponente nos regaló a cada asistente (diseño del 2014) en el sitio web:

ENLACE

Y también buscar y enlazar algunas de las  recomendaciones que nos comentó el ponente:
· Libro: “Los lógicos” de Jesús Mosterín, Espasa-Forum.
· Documental: “La curiosa guerra de Alan Turing o cómo las Matemáticas derrotaron a Hilbert”
· Película: “The Imitation Game (Descifrando Enigma)”.
· Comic: “LOGICOMIX” (en español, editado por Sins Entido, 2011)
· Libro: B. J. Copelan, “The essential Turing”, Clarendon Press (2004)

FORMAS POLARES Y TRIGONOMÉTRICAS DE UN NÚMERO COMPLEJO(NÚMEROS COMPLEJOS)

FORMA POLAR DE UN NÚMERO COMPLEJO
El número complejo z=a+bi tiene un módulo m y un argumento &.
Por tanto podemos observar que:z=a+bi=m&.
Esta expresión m& es la forma polar o módulo argumental del número complejo.

FORMA TRIGONOMÉTRICA DE UN NÚMERO COMPLEJO
De la representación gráfica del número complejo z=a+bi=m& obtenemos:

cos&=a/m--->a=m·cos &.

sen&=b/m--->b=m·sen &.

De estas expresiones resulta:

z=a+bi=m cos&+m sen& i=m(cos&+i sen&).





Llamamos forma trigonométrica de un número complejo z a la expresión:
z=m(cos& + i sen&).


Si tenéis dudas dejádmelas en los comentarios, próximamente terminaré los números complejos, remataré la geometría vectorial y empezaré la geometría analítica, así que estad atentos.
Gracias.