POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS EN EL PLANO.

Dos rectas en el plano pueden ser:

• Secantes; si se cortan en un punto.

• Paralelas;si no tienen ningún punto en común.

• Coincidentes; si tienen todos sus puntos comunes.

Hay tres maneras para estudiar que posición tiene la recta, debemos visualizar y resolver el sistema formado por sus ecuaciones.

Si obtenemos una solución, las rectas son secantes; si no obtenemos soluciones, las rectas son paralelas; y si encontramos infinitas soluciones, las rectas son coincidentes.

r:Ax+By+C=0

s=A'x+B'x+C=0

Resolvemos:

(A'-AB')x=BC'-B'C                  

(A'B-AB')y=AC'-A'C

RECTAS SECANTES: Si A'B-AB' distinto de 0, la ecuación tiene solución única y las rectas son secantes.

r y s son secantes<-->A'B-AB' distinto de 0; o A/A' distinto de B/B'.

RECTAS PARALELAS:Si A'B-AB'=0 y AC'-A'C distinto de 0, la ecuación no tiene soluciones y, por tanto, las rectas son paralelas:

r y s son paralelas<-->A/A'=B/B' distinto de C/C'.

RECTAS COINCIDENTES:Si A'B-AB'=0 y AC'-A'C=0, la ecuación tiene infinitas soluciones y, por tanto, las rectas son coincidentes:

r y s son coincidentes<-->A/A'=B/B'=C/C'.

Ejercicio:

Estudiemos las posiciones relativas de los siguientes pares de rectas:

1-r:2x+5y-4=0

   s:4x+10y+3=0

    No existen soluciones, por tanto son paralelas.

    2/4=5/10 distinto -4/3.

2-r:x-2y+3=0

   s:-2x+4y-6=0

  Tiene soluciones infinitas, por tanto, son coincidentes.

  1/2=-2/4=3/-6

3-r:4x+y-6=0

   s:x-3y-8=0

   Tiene soluciones, las cuales son x=2; y y=-2.

   4/1 distinto de 1/-3, por tanto, las rectas son secantes.

Si tenéis alguna duda, podéis dejármela en los comentarios.

Gracias.