GEOMETRÍA ANALÍTICA(Ecuación vectorial de la recta).

Imaginemos que no somos los únicos habitantes de este mundo, imaginemos que existen otros seres inteligentes muchísimo más pequeños que nosotros, a los que llamemos hal(habitantes altamente longitudinales), y supongamos que su mundo únicamente se reduce a la recta r de la figura superior, les da igual lo que pase en el resto del universo, ellos viven y mueren ahí.
Pero imaginemos que conviven sin saberlo con los sap(seres aplanados del plano), solo que los sap han descubierto la existencia de los hal y se dedican a estudiarlos.
Saben, por ejemplo que los hal para orientarse por su recta r, han elegido como origen de cordenadas el punto P, al que han asignado el valor 0, y como unidad, una cierta longitud k, que van llevando a la derecha del origen para determinar los puntos;1, 2, 3, ... o a la izquierda para determinar los puntos;-1, -2, -3, ...
Sin embargo, los sap, han empleado las coordenadas (2, 2'5), para referirse al punto P, ya que, como criaturas planas que son, lo ven situado 2 unidades al este, y 2'5 unidades al norte del punto(0,0).
Ademas, ellos ven la unidad k, como una hipotenusa de un triángulo rectángulo, y resumen este hecho,diciendo que, la unidad k de los hal coincide con el vector(1, 1'5).
Lo que quiero decir con esto, es que toda la vida hemos trabajado con un eje horizontal y otro vertical, cuando podemos utilizar cualquier par de ejes, esto, como la vida, es relativo.
Dejando la filosofía de lado, nosotros solemos usar un sistema de referencia:(0,i->,j->), el cual se refiere al punto 0 de origen, y a los vectores i->=(1,0) y j->=(0,1), que corresponden al eje de abscisas y ordenadas, ademas podemos generar cualquier vector a partir de una combinación lineal de estos.
Pero bueno, volvamos con nuestros amigos, los hal y los sap.

Supongamos ahora que un hal está situado en el punto t de la recta, y que un sap, amigo suyo, quiere expresar su posición mediante unas coordenadas(x,y).
Para llegar a ver a su amigo, que le debe 10 euros, el sap tiene que hacer dos cosas:
a)Debe desplazarse primero al origen de los hal mediante el vector (2,1'3), por entenderlo de alguna manera, debe pasar a su mundo.
b)Moverse ahora hasta el punto t, pero debe respetar las normas de desplazamiento del mundo de los hal, por tanto debe usar el desplazamiento equivalente al vector(1,1'5), pero se tiene que desplazar 3 veces ese vector para llegar a t, por tanto 3·(1,1'5).

Esta ecuación, llamada ecuación vectorial de la recta se define así:(x,y)=(x0,y0)+t·(a,b).
Es decir, que esta ecuación, permite a los hal y a los sap conocerse.
Imaginate que mañana llega un hal, y le dice a su amigo sap que vaya a ver el clásico barca-madrid con él, que le espera en el punto 2.
El sap tiene que entender que las coordenadas de ese punto 2 son:
(x,y)=(2,1'3)+2·(1, 1'5) es decir, las coordenadas (4,4'3) para el sistema de referencia de los sap.
Esta ecuación es como la piedra rosseta de la geometría, permite comunicarse entre dos situaciones distintas.



Espero que os haya resultado entendible y entretenido, si tenéis alguna duda, podéis dejármela en los comentarios.
Gracias.

PARADOJAS NUMÉRICAS.

Disponemos de un conjunto de números N={1, 2, 3, 4, ...},a primera vista resultan tan naturales que sin duda te darás cuenta de la lógica de su nombre:números naturales.
Ahora supongamos que existe un número natural g, tan grande que sería el mayor de todos, sabríamos que g+1 sería también natural y lógicamente mayor que g, es decir, por muy grande que sea un número natural, siempre habrá otro mayor, por tanto sacamos que hay infinitos números naturales.
Hasta aquí todo bien, todo correcto, pero consideremos ahora un subconjunto, el de los números pares, P={2, 4, 6, 8, ...}.
Si te preguntase a ti, amable lector de mi blog, ¿cuántos pares hay?, tú me contestarías:"la mitad que naturales, puesto que tiene que haber tantos pares, como impares ".
Ahora bien, es posible que cambies de opinión si asocio cada número natural el resultado de multiplicarlo por dos, que es par.Esta asociación es la función N en P definida por la fórmula:y=2x(muy conocida por todos).De tal manera que si emparejamos:
1<->2
4<->8
2004<->4008
Si he escrito esas flechas de ida y vuelta es simplemente porque, también podemos identificar cada par con un número natural, simplemente dividiendo entre dos, que es par, por tanto, es posible.Estas funciones las llamamos biyectivas.
Es decir observando esto sacamos la conclusión de que hay tantos números pares como naturales.
Así que:¿Qué es el infinito?
En este caso decimos que un conjunto es infinito cuando se puede establecer una biyección entre él y uno de sus subconjuntos propios, o dicho de otra manera, cuando tiene la misma cantidad de elementos que una de sus partes.
Si ahora al conjunto N le añadimos el 0 y los negativos, formamos el conjunto Z, que, obviamente, contiene N.
Pero, al igual que ocurría antes, ¿es mayor el conjunto Z del N?, es decir, ¿podríamos establecer una biyección entre ambos conjuntos?

Ahora por favor, quiero que lo intentéis, y por supuesto me digáis una solución o un planteamiento en los comentarios.
Gracias.

EJERCICIOS GEOMETRÍA VECTORIAL.(PARTE 2).

5-Tenemos el módulo de /W->/=15.

REALIZACIÓN

6-

7-Sean v-> y w-> dos vectores unitarios.Demuestra que el vector suma de ambos es ortogonal al vector diferencia de ambos.

Si son unitarios sabemos que su módulo es 1.
Por tanto haciendo el producto escalar:(v->+w->)·(v->-w->)=/v->/²-/w/²:producto escalar es 0 y los vectores perpendiculares.

Si tenéis alguna duda, por favor, dejádmela en los comentarios.
Gracias.

LUGARES GEOMÉTRICOS.CÓNICAS.

Lugar geométrico:Un lugar geométrico la figura que forman un conjunto de puntos que satisfacen determinadas condiciones o propiedades geométricas.
Mediatriz de un segmento:La mediatriz de un segmento es la línea recta perpendicular a dicho segmento trazada por su punto medio. Equivalentemente, se puede definir como el lugar geométrico, la recta, cuyos puntos son equidistantes a los extremos del segmento.
Es decir, si tenemos un segmento con extremos A y B, el punto que equidistan de los dos, funcionaría como la mediatriz trazada, y cualquier punto de esa mediatriz se situará equidistante a los puntos A y B.
La calculamos con el punto, recta:d(P, A)=d(P, B).

Bisectriz de un segemento:La bisectriz de un ángulo es la recta que pasa por el vértice del ángulo y lo divide en dos partes iguales. Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan (están a la misma distancia) de las semirrectas de un ángulo.
Si tenemos dos rectas, los puntos geométricos se calculan como:d(P,r)=d(P,s).

Empezamos con un nuevo tema matemático, seguid atentos.
Si tenéis alguna duda, dejádmela en los comentarios.
Gracias.

EJERCICIOS GEOMETRÍA VECTORIAL.(PARTE 1)

a)Si sabemos que su origen es el punto A(5, 2), y sabemos que sus coordenadas son:(3, 2), no tenemos más que recordar que para hallar las coordenadas de un vector fijo, es necesario restar las coordenadas del extremo a las del origen, y si aquí tenemos todos los datos excepto las coordenadas del extremo, no hay más que hacer lo que comúnmente llamamos despejar,

(a2,b2)=(5,2)+(3,2)---->((5+3),(2+2))---------->Lo que nos da unas coordenadas del extremo:(8,4).

b)Sería hacer prácticamete lo mismo, solo que esta vez habría que "despejar" las coordenadas del origen.

(a1,b1)=(0,3)-(-4,5)----->((0+4),(-3-5))---------->Lo que nos daría unas coordenadas del origen:(4,-8).

a)/v->/ sabemos que esto se calcula: √a²1+√b²1,(√(1²+5²)) así que la solución es: √26.
/w->/;(√(-3²+4²)) así que la solución es:5.
/u->/;(√(5²+12²))así que la solución es:13.

b)Se utiliza esta fórmula:

fórmula ángulo de dos vectores

   -cos(v->,w->)=17/(5√26).

   -cos(v->,u->)=65/(13√26).

   -cos(w->,u->)=33/65.

c)Utilizamos la fórmula y nos queda:

   -(v->,w->)=48º10'47"

   -(v->,u->)=11º18'36"

   -(w->,u->)=59º29'33"

d)Sumamos y restamos los orígenes y los extremos:

  -v->+w->-u->=(-7,-3).

e)Multiplicamos:

   v->(-3,-15).

f)Un vector normal es aquel ortogonal a otro, en este caso:

   el vector normal a w->(-3,4), es otro z->(4,3).

Halla el producto escalar en los siguientes casos

a)v->·w->=/v->/·/w->/·cos(v->,w->)=4·6·cos 45º=12√2=16,96.

b)v->·w->=/v->/·/w->/·cos(v->,w->)=3·3·cos 60º=9/2=4,5.

c)v->·w->=(3,-4)·(-12,-5)=-16.

d)v->·w->=(-3,4)·(15,-20)=-125.

4-Un paralelogramo tiene tres vértices en los puntos de coordenadas (-1,1);(0,-1) y (3,2).Halla las coordenadas del cuarto vértice.¿Cuántos resultados puedes obtener?

Como sabemos que es un paralelogramo, sumamos las dos primeras coordenadas para saber la distancia del vector, y se lo restamos a la tercera coordenada y nos da el cuarto punto.

A+B=(-1,2) en valor absoluto.

(-1,2)-C=(4,0).Pero si sumamos; nos da otro resultado:(-1,2)+C=(2,4).

Seguiré subiendo ejercicios en los próximos días, si tenéis dudas, por favor, dejádmelas en lso comentarios.

Gracias.

POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS EN EL PLANO.

Dos rectas en el plano pueden ser:

• Secantes; si se cortan en un punto.

• Paralelas;si no tienen ningún punto en común.

• Coincidentes; si tienen todos sus puntos comunes.

Hay tres maneras para estudiar que posición tiene la recta, debemos visualizar y resolver el sistema formado por sus ecuaciones.

Si obtenemos una solución, las rectas son secantes; si no obtenemos soluciones, las rectas son paralelas; y si encontramos infinitas soluciones, las rectas son coincidentes.

r:Ax+By+C=0

s=A'x+B'x+C=0

Resolvemos:

(A'-AB')x=BC'-B'C                  

(A'B-AB')y=AC'-A'C

RECTAS SECANTES: Si A'B-AB' distinto de 0, la ecuación tiene solución única y las rectas son secantes.

r y s son secantes<-->A'B-AB' distinto de 0; o A/A' distinto de B/B'.

RECTAS PARALELAS:Si A'B-AB'=0 y AC'-A'C distinto de 0, la ecuación no tiene soluciones y, por tanto, las rectas son paralelas:

r y s son paralelas<-->A/A'=B/B' distinto de C/C'.

RECTAS COINCIDENTES:Si A'B-AB'=0 y AC'-A'C=0, la ecuación tiene infinitas soluciones y, por tanto, las rectas son coincidentes:

r y s son coincidentes<-->A/A'=B/B'=C/C'.

Ejercicio:

Estudiemos las posiciones relativas de los siguientes pares de rectas:

1-r:2x+5y-4=0

   s:4x+10y+3=0

    No existen soluciones, por tanto son paralelas.

    2/4=5/10 distinto -4/3.

2-r:x-2y+3=0

   s:-2x+4y-6=0

  Tiene soluciones infinitas, por tanto, son coincidentes.

  1/2=-2/4=3/-6

3-r:4x+y-6=0

   s:x-3y-8=0

   Tiene soluciones, las cuales son x=2; y y=-2.

   4/1 distinto de 1/-3, por tanto, las rectas son secantes.

Si tenéis alguna duda, podéis dejármela en los comentarios.

Gracias.

ECUACIONES CONTINUA Y GENERAL DE LA RECTA.

ECUACIÓN CONTINUA DE LA RECTA
Obtenemos la ecuación continua a partir de las ecuaciones paramétricas:
¿Qué son las ecuaciones paramétricas?
-Son aquellas de una determinada recta que pasa por un determinado punto P0(x0,y0) y que tienen como vector director v->(a, b),(sabiendo que ese vector v es distinto de 0 y que hemos tomado anteriormente un sistema de referencia, que para nosotros siempre es el (0,i->.j->)).
x=x0+ta
y=y0+tb      t es un parámetro, y está dentro de los números reales.

La ecuación continua de la recta no sería más que hacer lo que comúnmente denominamos despejar la t.
Obtendriamos:

(x-x0)/a=(y-y0)/b
Es decir, sería una ecuación  de una recta determinada que pasaría por un punto fijo, y que tendría como vector a y b distintos de 0, con un sistema de referencia fijado anteriormente.
¿Qué rectas no tienen ecuación continua?
Las de las paralelas al eje x y al eje y puesto que la ecuación daría 0, comprobadlo.

ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA
Despejemos de la ecuación continua por un lado la a, y por otro la b:
b(x-x0)=a(y-y0).
bx-ay+ay0-bx0=0
Tomamos;A=b, B=-a, C=ay0-bx0.
Ecuación general:Ax+By+C=0.



Si tenéis alguna duda, podéis dejármela en los comentarios.
Gracias.