EJERCICIO DE EXAMEN(TRIÁNGULOS Y PENTÁGONOS)

Resuelve el triángulo DEN sabiendo que tienes un pentágono regular, M es el punto medio del radio, en el eje OX, de la circunferencia circunscrita a dicho pentágono y que tomamos como unidad de medida, N es un punto en el eje OX tal que DM = NM. 

Empezamos suponiendo que el radio de la circunferencia vale 7, con esto quiero decir que podemos utilizar la medida que queramos, dad que el problema no nos ofrece ninguna, yo dado que al hacerlo en geogebra me ha dado esto, la dejo así.

Necesitamos hallar DM, dado que es igual a NM y nos permitirá depués hallar el resto.
Utilicemos el teorema de Pitágoras:DM²=3,5²+7²    DM=7,82.

Hallemos ahora el lado DN, que nos permitirá encontrar lo que buscamos.
DN²=4,32²+7²     DN=8,22.

Visualiamos un triángulo que sea DEO, para calcular ED.Sabemos que DO es 7 y que EO es el radio,así que usaremos el teorema del coseno:ED²=7²+7²-2·7·7·cos c.
El coseno de c es 72º,¿cómo lo sabemos?, amigo, aquí entra en juego la magia de las matemáticas.
Visualiza el triángulo DNO, si te das cuenta, todo el pentágono está formado por 5 de estos triángulos, en los que dos de sus lados son los radios de la circunferencia, así que dividimos 360º(de la circunferencia entre los 5 trángulos), 72º.
Así que hallamos ED y nos da 12,25.

Hallemos el ángulo D del triángulo DEO, usaremos ahora el teorema de los senos:
7/senD=12,25/sen72º--------->D=54º.
Calculamos el ángulo que forma D en el DNO:cosD=7/4,32=0,89.----->34º.
54º-34º=20º.

Nos damos cuenta de que ese triángulo es isósceles por tanto sus dos ángulos medirán lo mismo.
180º-20º=160º------>160º/2=80º.

Sólo queda hallar EN:Usemos otra vez el teorema de los senos;
12,25/sen80º=x/sen20º------->3,15.

Gracias, si tenéis dudas podéis dejarmelo en los comentarios.