EJERCICIO DE EXAMEN(TRIÁNGULOS Y PENTÁGONOS)

Resuelve el triángulo DEN sabiendo que tienes un pentágono regular, M es el punto medio del radio, en el eje OX, de la circunferencia circunscrita a dicho pentágono y que tomamos como unidad de medida, N es un punto en el eje OX tal que DM = NM. 

Empezamos suponiendo que el radio de la circunferencia vale 7, con esto quiero decir que podemos utilizar la medida que queramos, dad que el problema no nos ofrece ninguna, yo dado que al hacerlo en geogebra me ha dado esto, la dejo así.

Necesitamos hallar DM, dado que es igual a NM y nos permitirá depués hallar el resto.
Utilicemos el teorema de Pitágoras:DM²=3,5²+7²    DM=7,82.

Hallemos ahora el lado DN, que nos permitirá encontrar lo que buscamos.
DN²=4,32²+7²     DN=8,22.

Visualiamos un triángulo que sea DEO, para calcular ED.Sabemos que DO es 7 y que EO es el radio,así que usaremos el teorema del coseno:ED²=7²+7²-2·7·7·cos c.
El coseno de c es 72º,¿cómo lo sabemos?, amigo, aquí entra en juego la magia de las matemáticas.
Visualiza el triángulo DNO, si te das cuenta, todo el pentágono está formado por 5 de estos triángulos, en los que dos de sus lados son los radios de la circunferencia, así que dividimos 360º(de la circunferencia entre los 5 trángulos), 72º.
Así que hallamos ED y nos da 12,25.

Hallemos el ángulo D del triángulo DEO, usaremos ahora el teorema de los senos:
7/senD=12,25/sen72º--------->D=54º.
Calculamos el ángulo que forma D en el DNO:cosD=7/4,32=0,89.----->34º.
54º-34º=20º.

Nos damos cuenta de que ese triángulo es isósceles por tanto sus dos ángulos medirán lo mismo.
180º-20º=160º------>160º/2=80º.

Sólo queda hallar EN:Usemos otra vez el teorema de los senos;
12,25/sen80º=x/sen20º------->3,15.

Gracias, si tenéis dudas podéis dejarmelo en los comentarios.

EJERCICIO DE EXAMEN(TRIÁNGULOS)

Elabora una construcción con GEOGEBRA que permita ver dicha evolución.


Demuestra, utilizando el teorema de Tales, que el triángulo MPR es isósceles.


Como el segmento AB se desliza por la semicircunferencia, el triángulo MPR varía, demuestra que cualquiera de esos triángulos MPR son semejantes

Demostramos la evolución con GEOGEBRA.

Demostramos que es isósceles mediante Tales.

Por supuesto que los demás triángulos son semejantes, ya que, si aumentamos o disminuimos su altura, el área también aumenta o disminuye por las propiedades de este triángulo.

TEOREMAS DE ADICIÓN(TRIGONOMETRÍA)Tangente de la suma de dos ángulos.

                             Razones trigonométricas de la suma de dos ángulos:

Tangente de la suma de dos ángulos:

tg(a+b)=(sen(a+b))/(cos(a+b))=(sen a·cos b + sen b·cos a)/(cos a·cos b - sen b·sen a)

Dividimos en el numerador y en el denominador por la expresión cos a·cos b y obtenemos:

tg(a+b)=(tg a+tg b)/(1-tg a·tg b)

EJEMPLO:

tg 75º=tg(45º+30º)=(tg 45º+tg 30º)/(1-tg 45º·tg 30º)=(1+(1/√3))/(1-1·(1/√3))=(√3+1)/(√3-1)

=2+√3.

Si tenéis alguna duda,dejádmela en los comentarios por favor.

Muchas gracias.

TEOREMAS DE ADICIÓN(TRIGONOMETRÍA)Coseno de la suma de dos ángulos.

Razones trigonométricas de la suma de dos ángulos:

 

COSENO

 DE LA SUMA DE DOS ÁNGULOS:

Calculemos el cos(a+b).

Para ello, usaremos las relaciones entre ángulos que difieren 90º y la expresión anterior:cos(a+b)=sen (90º+(a+b)=sen((90º+a)+b)=sen(90º+a)·cos b+sen b·cos (90º+a)=cos a·cos b+sen b·sen (-a).



 Por tanto obtenemos:

cos(a+b)=cos a·cos b-sen a·sen b.

EJEMPLO:cos 75º=cos (45º+30º)=cos 45º·cos 30º-sen 45º·sen 30º=√2/2·√3/2-√2/2·1/2=(√6-√4)/4.

Gracias por todo, si tenéis dudas, podéis dejármelo en los comentarios.

RESOLUCIÓN JUEGO DE LAS ÁREAS

Si tomamos r como el radio de la circunferencia grande, el área del triángulo azul será r²/2.

Para calcular el área de la luna necesitaremos el diámetro del semicírculo pequeño en el que está contenida la luna.

Calcularemos fácilmente el diámetro de esta circunferencia con el teorema de Pitágoras:

d²=r²+r²=2r².Así obtenemos:d=√2r.

El semicírculo pequeño tendrá el siguiente área:

A=π/2((√2*r)/2)²=1/2*(2πr²)/4=(πr²)/4.

Ahora, para obtener el área de la luna, únicamente tenemos que restar la parte blanca que queda dentro del semicírculo pequeño, cuyo valor es 1/4 de la superficie del círculo grande menos el área del triángulo azul que ya hemos calculado.Por tanto, la superficie de la parte blanca es:

A blanca=(1/4)πr²-(r²/2).

Finalmente calculamos el área de la luna:

A=(πr²/4)-((πr²/4)-(r²/2))=r²/2.

Por tanto las dos áreas son iguales.




Gracias,este problema he visto que nos ha costado un poco más realizarlo que otros que he puesto, pero, así se aprende.Si tenéis alguna duda, dejádmela en los comentarios.

REFLEXIÓN METRÓNOMOS

ENLACE A LA PÁGINA WEB DE LOS METRÓNOMOS


Reflexionemos...

¿Qué metáfora podemos sacar de esa información?

Pues posiblemente muchas, o que los metrónomos trabajan conjuntamente en sociedad, o que están obligados por unas leyes naturales preestablecidas(todo esto aplicándolo a nuestra vida humana), o que no podemos escapar a nuestros patrones de nacimiento.

Pero como esto es un blog de matemáticas y no de filosofía, es fácil pensar que estos sucesos ocurren gracias a la física.
En un proceso de retroalimentación, donde los metrónomos que tienen oscilaciones (fase) más parecidas impondrán su ritmo al resto. Este efecto se le llama acoplamiento mecánico.
Huygens(físico matemático holandés) lo descubríó en 1665. Él vio que dos péndulos colgados en una misma pared se sincronizaban de manera misteriosa.


Este sincronismo no ocurre sólo con los metrónomos, hay teorías de que muchos fenómenos de la naturaleza obedecen un orden. Por ejemplo, la luz de las luciérnagas, las cuales se iluminan cuando lo hacen las que están próximas. O los aplausos.

Entonces...¿Será cierto que la marcha de soldados puede hacer caer un puente?


Podéis reflexionar o dar vuestra opinión sobre esta pregunta formulada, o si creéis que estamos influenciados todos por un ritmo establecido.
Gracias.

EJERCICIO DE EXAMEN(CIRCUNFERENCIAS)

Definición de incentro de un triángulo. Calcula, paso a paso el área de la región plana comprendida entre la circunferencia inscrita y la circunferencia circunscrita al triángulo isósceles cuyos lados iguales miden 3 unidades y el ángulo comprendido entre dichos lados mide 0’5 radianes. ¿Dicha región es una corona circular? Razona tu respuesta.

El incentro es el punto en el que se cortan las tres bisectrices de los ángulos del triángulo, en este caso también es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo. 

Empezamos:

Primero hallamos el lado que nos falta, ya que, sabemos que los otros dos lados miden 3 unidades,y el ángulo correspondiente a ese lado mide 28º71´.(Los otros dos ángulos al ser iguales, medirán 75,8º, así, conseguimos los 180º del triángulo completo).

Lo hallamos con el teorema del coseno(ENLACE TEOREMA DEL COSENO).

Ese lado que nos falta mide:1,5 unidades.

Hallemos el radio de la circunferencia menor.Tenemos la mitad del ángulo B(37,7º), y la mitad del lado BC(0,75 unidades), es un triángulo rectángulo(el triángulo betaBD), usemos la tangente.

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS TRIÁNGULO RECTÁNGULO

tg37,7º*π/180=r/0,75)------->r=0,55unidades aprox.

Hallemos ahora el radio de la circunferencia mayor:

Tenemos la mitad de la ángulo A(14,36º), la mitad del segmento AB(1,5 unidades), usemos ahora el teorema del coseno:

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS TRIÁNGULO RECTÁNGULO

cos14,36º*π/180(lo pasamos a radianes)=R/1,5------>R=1,45 unidades.

Restamos áreas:πR² -πr².

Obtenemos:6,48 unidades².

No es una corona circular porque los centros de las dos circunferencias no son iguales.

Gracias,si tenéis duddas, dejadmelas en los comentarios.