TEOREMAS DE ADICIÓN(TRIGONOMETRÍA)Tangente de la suma de dos ángulos.

                             Razones trigonométricas de la suma de dos ángulos:

Tangente de la suma de dos ángulos:

tg(a+b)=(sen(a+b))/(cos(a+b))=(sen a·cos b + sen b·cos a)/(cos a·cos b - sen b·sen a)

Dividimos en el numerador y en el denominador por la expresión cos a·cos b y obtenemos:

tg(a+b)=(tg a+tg b)/(1-tg a·tg b)

EJEMPLO:

tg 75º=tg(45º+30º)=(tg 45º+tg 30º)/(1-tg 45º·tg 30º)=(1+(1/√3))/(1-1·(1/√3))=(√3+1)/(√3-1)

=2+√3.

Si tenéis alguna duda,dejádmela en los comentarios por favor.

Muchas gracias.

TEOREMAS DE ADICIÓN(TRIGONOMETRÍA)Coseno de la suma de dos ángulos.

Razones trigonométricas de la suma de dos ángulos:

 

COSENO

 DE LA SUMA DE DOS ÁNGULOS:

Calculemos el cos(a+b).

Para ello, usaremos las relaciones entre ángulos que difieren 90º y la expresión anterior:cos(a+b)=sen (90º+(a+b)=sen((90º+a)+b)=sen(90º+a)·cos b+sen b·cos (90º+a)=cos a·cos b+sen b·sen (-a).



 Por tanto obtenemos:

cos(a+b)=cos a·cos b-sen a·sen b.

EJEMPLO:cos 75º=cos (45º+30º)=cos 45º·cos 30º-sen 45º·sen 30º=√2/2·√3/2-√2/2·1/2=(√6-√4)/4.

Gracias por todo, si tenéis dudas, podéis dejármelo en los comentarios.

RESOLUCIÓN JUEGO DE LAS ÁREAS

Si tomamos r como el radio de la circunferencia grande, el área del triángulo azul será r²/2.

Para calcular el área de la luna necesitaremos el diámetro del semicírculo pequeño en el que está contenida la luna.

Calcularemos fácilmente el diámetro de esta circunferencia con el teorema de Pitágoras:

d²=r²+r²=2r².Así obtenemos:d=√2r.

El semicírculo pequeño tendrá el siguiente área:

A=π/2((√2*r)/2)²=1/2*(2πr²)/4=(πr²)/4.

Ahora, para obtener el área de la luna, únicamente tenemos que restar la parte blanca que queda dentro del semicírculo pequeño, cuyo valor es 1/4 de la superficie del círculo grande menos el área del triángulo azul que ya hemos calculado.Por tanto, la superficie de la parte blanca es:

A blanca=(1/4)πr²-(r²/2).

Finalmente calculamos el área de la luna:

A=(πr²/4)-((πr²/4)-(r²/2))=r²/2.

Por tanto las dos áreas son iguales.




Gracias,este problema he visto que nos ha costado un poco más realizarlo que otros que he puesto, pero, así se aprende.Si tenéis alguna duda, dejádmela en los comentarios.

REFLEXIÓN METRÓNOMOS

ENLACE A LA PÁGINA WEB DE LOS METRÓNOMOS


Reflexionemos...

¿Qué metáfora podemos sacar de esa información?

Pues posiblemente muchas, o que los metrónomos trabajan conjuntamente en sociedad, o que están obligados por unas leyes naturales preestablecidas(todo esto aplicándolo a nuestra vida humana), o que no podemos escapar a nuestros patrones de nacimiento.

Pero como esto es un blog de matemáticas y no de filosofía, es fácil pensar que estos sucesos ocurren gracias a la física.
En un proceso de retroalimentación, donde los metrónomos que tienen oscilaciones (fase) más parecidas impondrán su ritmo al resto. Este efecto se le llama acoplamiento mecánico.
Huygens(físico matemático holandés) lo descubríó en 1665. Él vio que dos péndulos colgados en una misma pared se sincronizaban de manera misteriosa.


Este sincronismo no ocurre sólo con los metrónomos, hay teorías de que muchos fenómenos de la naturaleza obedecen un orden. Por ejemplo, la luz de las luciérnagas, las cuales se iluminan cuando lo hacen las que están próximas. O los aplausos.

Entonces...¿Será cierto que la marcha de soldados puede hacer caer un puente?


Podéis reflexionar o dar vuestra opinión sobre esta pregunta formulada, o si creéis que estamos influenciados todos por un ritmo establecido.
Gracias.

EJERCICIO DE EXAMEN(CIRCUNFERENCIAS)

Definición de incentro de un triángulo. Calcula, paso a paso el área de la región plana comprendida entre la circunferencia inscrita y la circunferencia circunscrita al triángulo isósceles cuyos lados iguales miden 3 unidades y el ángulo comprendido entre dichos lados mide 0’5 radianes. ¿Dicha región es una corona circular? Razona tu respuesta.

El incentro es el punto en el que se cortan las tres bisectrices de los ángulos del triángulo, en este caso también es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo. 

Empezamos:

Primero hallamos el lado que nos falta, ya que, sabemos que los otros dos lados miden 3 unidades,y el ángulo correspondiente a ese lado mide 28º71´.(Los otros dos ángulos al ser iguales, medirán 75,8º, así, conseguimos los 180º del triángulo completo).

Lo hallamos con el teorema del coseno(ENLACE TEOREMA DEL COSENO).

Ese lado que nos falta mide:1,5 unidades.

Hallemos el radio de la circunferencia menor.Tenemos la mitad del ángulo B(37,7º), y la mitad del lado BC(0,75 unidades), es un triángulo rectángulo(el triángulo betaBD), usemos la tangente.

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS TRIÁNGULO RECTÁNGULO

tg37,7º*π/180=r/0,75)------->r=0,55unidades aprox.

Hallemos ahora el radio de la circunferencia mayor:

Tenemos la mitad de la ángulo A(14,36º), la mitad del segmento AB(1,5 unidades), usemos ahora el teorema del coseno:

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS TRIÁNGULO RECTÁNGULO

cos14,36º*π/180(lo pasamos a radianes)=R/1,5------>R=1,45 unidades.

Restamos áreas:πR² -πr².

Obtenemos:6,48 unidades².

No es una corona circular porque los centros de las dos circunferencias no son iguales.

Gracias,si tenéis duddas, dejadmelas en los comentarios.

EJERCICIO EXAMEN(EL CLAUSTRO)

Se quiere reconstruir la ubicación y las dimensiones de un claustro de forma cuadrada desaparecido y del que se ha encontrado su pozo. Se tienen dudas de la ubicación del pozo en relación al claustro pero se sabe que dicho pozo distaba 30, 40 y 50 m de las esquinas del claustro.

Vamos a realizar el problema:

Me he planteado realizar el teorema del coseno.

Cómo podéis observar en la foto, en una operación nos quedaría el coseno de un ángulo, y en la otra el de 90º menos el ángulo dicho.

Recordemos que el coseno de 90º menos un ángulo cualquiera, es el seno de ese ángulo.

Después utilizamos la verificación de: sen²+cos²=1.

Al final nos queda,como podéis ver en la foto,dos resultados.

Lógicamente nos quedamos con 56,54 metros, ya que la otra medida nos dejaría el pozo fuera del claustro.

Gracias,las dudas ponedlas en los comentarios.

TEOREMAS DE ADICIÓN(TRIGONOMETRÍA)Seno de la suma de dos ángulos.

Razones trigonométricas de la suma de dos ángulos:

SENO DE LA SUMA DE DOS ÁNGULOS
Visualizando la figura que está a la derecha nos damos cuenta de que:
sen(a+b)=AR+RP=CB+RP

Calculamos las medidas de los segmentos CB y RP:
sen a=CB/OB---->CB=OB*sen a
cos b=OB/1------>OB=cos b
Lo que nos daría una solución así:CB=sen a*cos b

Procedemos a calcular ahora el segmento RP:
cos a=RP/PB------>RP=P*cos a
sen b=PB/1-------->PB=sen b
Lo que nos daría una solución así:RP=sen b*cos a

Por lo tanto llevando estas expresiones a la primera igualdad nos quedaría el seno de la suma de los dos ángulos:
sen(a+b)=sen a*cos b+sen b*cos a


EJEMPLO:Vamos a determinar las razones trigonométricas de un ángulo de 75º.
sen 75º=sen(45º+30º)=sen 45º*cos 30º+sen 30º*cos 45º=√2/2*√3/2+1/2*√2/2=√6/4+√4/4.

Si no recuerdas las razones trigonométricas de los ángulos mas conocidos,aquí te dejo un enlace:

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

Próximamente subiré el resto de razones trigonométricas de la suma de dos áangulos,si habéis tenido alguna duda por favor dejádmela en los comentarios,gracias.

JUEGO DE LAS ÁREAS

¿Cuál de las dos zonas tiene mayor superficie,la luna o el triángulo?



Dejadme en los comentarios vuestra solución,me gustaría que viniese junto con vuestro proceso o un resumen de él,gracias.

RESOLUCIÓN DE UN TRIÁNGULO CUALQUIERA

Para resolver un triángulo cualquiera necesitamos tener en cuenta las siguientes relaciones entre los elementos de dicho triángulo.
1-LA SUMA DE SUS ÁNGULOS ES IGUAL A 180º.
2-EL TEOREMA DE LOS SENOS.
3-EL TEOREMA DEL COSENO.
Con estas tres relaciones podremos resolver cualquier triángulo.
Vamos a realizar 3 ejemplos:

EJEMPLO 1

Como podemos observar se trata de un triángulo en el que conocemos dos ángulos y un lado.
¿Qué pasos realizariamos en este caso?
-Para empezar hallariamos el ángulo que nos falta restando 180º menos los grados de los otros dos ángulos.
A=60º
B=40º
C=180º-(60º+40º)
-Ahora que ya tenemos los tres ángulos es muy facil calcular los lados con el teorema de los senos ya que para realizar el teorema del coseno necesitamos conocer mínimo dos lados.
ENLACE TEOREMA DE LOS SENOS.

a/sen 60º=5/sen 80º------>a=4,40 metros.
5/sen 80º=b/sen 40º------>b=3,26 metros.

EJEMPLO 2

En este caso observamos un triángulo en el que conocemos dos lados y un ángulo.
¿Qué podríamos hacer en este caso?
-Como bien he dicho antes si conocemos dos lados y al menos un ángulos podemos utilizar el teorema del coseno.
ENLACE TEOREMA DEL COSENO
a=√b²+c²-2bc•cos A(la raíz cuadrada acoge toda la operación)
a=√7²+10²-2•7•10•cos 40°=3,26 metros.
-Una vez obtenido el lado a podemos obtener los distintos ángulos con el teorema del coseno también,únicamente habría que despejar el coseno del ángulo que deseemos en vez del lado a.
O podemos obtener también esos lados con es teorema de los senos de nuevo.
3,26/40=7/sen B----->B=44º8´
-Para terminar restamos la suma de los dos ángulos a 180 y ya lo tendriamos.
C=180º-(44º8´+40º)=95º52´


EJEMPLO 3

En este triángulo podemos observar que tenemos los tres lados pero ningún ángulo,por tanto...
¿Qué debemos hacer aquí?
-Sencillo,utilizamos el teorema del coseno para calcular los tres ángulos.
cos A=b²+c²-a²/2bc
cos A=20²+40²-35²/2*20*40
A=61º21´
Ahora simplemente hacemos lo mismo con el resto de los ángulos o utilizamos el teorema de los senos como hicimos en el ejemplo anterior.
Nos quedaría:
B=30º
C=88º58´


Si tenéis alguna duda o deseáis que suba algo específico al blog,no dudéis en ponérmelo en los comentarios.Gracias.

Fórmula de Herón

  La fórmula de Herón halla el área de un triángulo del cual se conocen todos sus lados.   

  El área se calcula a partir del semiperímetro(p) del triángulo  y de la longitud de los lados        (a, b y c).

Fórmula de Herón

Para calcular el semiperímetro utilizamos esta fórmula:

Fórmula para calcular el semiperímetro

Si tenéis alguna duda por favor dejádmela en los comentarios.

Mapa histórico.(MATEMÁTICAS EN LA HISTORIA).

A continuación os dejo con este mapa en el que se ven reflejados algunos de los más grandes matemáticos de la historia.Os dejo los enlaces de alguno de estos matemáticos para que podáis ver algunas de sus aportaciones a dicha ciencia.
HIPARCO DE NICEA
CLAUDIO PTOLOMEO DE ALEJANDRÍA

TEOREMA DEL COSENO(TRIGONOMETRÍA)

Hoy vamos a demostrar el teorema del coseno.
El teorema del coseno nos dice que:
-:a²=b²+c²-2bc•cos A
-:b²=a²+c²-2ac•cos B
-:c²=a²+b²-2ab•cos C

En este triángulo lo cortamos por el ángulo C y obtenemos dos triángulos rectángulos,
Hacemos por ejemplo el teorema de Pitágoras del triángulo de la derecha:
a²=m²+hc²=(c-p)²+(b²-p²)=c²+p²-2cp+b²-p²=c²+b²-2cp=c²+b²-2cb cos A.
Podemos llegar a expresiones análogas trazando las alturas ha y hb,correspondientes a los vértices A y B, respectivamente.

Este teorema se utiliza en todos aquellos casos en los cuales intervienen triángulos de los que conocemos más lados que ángulos.En los otros casos utilizaremos el teorema de los senos.


Si tenéis alguna duda podéis ponerlo en los comentarios.

TEOREMA DE LOS SENOS(TRIGONOMETRÍA)

El teorema de los senos nos dice que:a/sen A=b/sen B=c/sen C;es decir,el lado a entre el seno de A es igual al lado de b entre el seno de B que es igual al lado c entre el seno de C.
¿Pero por qué ocurre esto?
Lo resolvemos.

Tenemos este triángulo escaleno;como no tiene ningún ángulo recto procedemos a dividirlo en dos triángulos rectángulos.
Una vez hecho esto calculamos el seno de A y el seno de B(no podemos calcular el seno de C,para ello tendríamos que trazar una línea recta desde el ángulo A hasta el lado a,despues lo haremos).
Como ya sabéis el seno de un ángulo se calcula dividiendo su cateto opuesto por la hipotenusa.
Por tanto:



                sen A=hc/b----->hc=b*sen A
                                                                                 

                sen B=hc/a------>hc=a*sen B
Igualamos:
                   a*sen B=b*sen A
                 
                   a/sen A=b/sen B

Posteriormente trazaríamos la línea dicha anteriormente para conseguir el seno de C,y conseguiriamos demostrar este teorema.


Si os ha quedado alguna duda os agradecería que me la escribieseis en los comentarios,muchas gracias.

CLAUDIO PTOLOMEO DE ALEJANDRÍA(MATEMÁTICAS EN LA HISTORIA)

Matemáticas en la historia...
Hoy, Claudio Ptolomeo de Alejandría.



Claudio Ptolomeo fue astrólogo,astrónomo,geógrafo y matemático.

Lo primero que hace Ptolomeo es justificar un universo basado en el sistema geocéntrico descrito por Aristóteles. Es una visión del mundo basada en que la Tierra está fija y a su alrededor gira cada día la esfera de las estrellas fijas, llevando consigo las esferas del sol, la luna y los planetas, usando combinaciones de movimientos circulares llamados epiciclos. Una vez establecido este modelo, Ptolomeo pasa a describir las matemáticas que necesita en el resto de la obra. En particular, presenta métodos trigonométricos basados en la función Crd (cuerda) (que está relacionada con la función seno por sen a = (Crd 2a/120)).

Ptolomeo creó nuevos teoremas y demostraciones geométricas. Obtuvo, usando cuerdas de un círculo y un polígono inscrito de 360 lados, la aproximación p = 3 + 17/120 = 3.14166, y usando Ö3 = arco 60°, Ö3 = 1.73205. Usó fórmulas para la función Cuerda que son análogas a las nuestras para sen(a + b), sen(a - b) y sen(a/2) para hacer la tabla de la función cuerda a intervalos de 1/2 grado.



Esto ocupa los dos primeros libros de los trece del 'Almagesto'(Almagesto es el nombre árabe de un tratado astronómico escrito en el siglo II por Claudio Ptolomeo de Alejandría, Egipto,contiene el catálogo estelar más completo de la antigüedad que fue utilizado ampliamente por los árabes y luego los europeos hasta la alta Edad media, y en el que se describen el sistema geocéntrico y el movimiento aparente de las estrellas y los planetas).

HIPARCO DE NICEA(MATEMÁTICAS EN LA HISTORIA)

Matemáticas en la historia...
Hoy, Hiparco de Nicea.


Hiparco de Nicea fue un astrónomo,geógrafo y matemático griego.Entre sus muchas aportaciones vamos a destacar la invención de la trigonometría.

Hiparco necesitaba la trigonometría dado que estos cálculos eran muy necesarios y se necesitaban en la astronomía;Hiparco construyó una tabla de cuerdas que equivaldría a nuestra moderna tabla de senos,con la ayuda de dicha tabla, pudo fácilmente relacionar los lados y los ángulos de todo triángulo plano.
También dibujó ángulos en una esfera y los triángulos dibujados sobre la superficie de la esfera no son planos sino esféricos constituyendo la trigonometría esférica.

La trigonometría esférica es la parte de la geometría esférica que estudia los polígonos que se forman sobre la superficie de la esfera, en especial, los triángulos. La resolución de triángulos esféricos tiene especial relevancia en astronomía náutica y navegación para determinar la posición de un buque en altamar mediante la observación de los astros.

Las cuerdas fueron usadas extensivamente en el desarrollo inicial de la trigonometría

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

Para resolver un triángulo rectángulo necesitamos tener en cuenta las siguientes relaciones:
-LA SUMA DE LOS DOS ÁNGULOS AGUDOS ES 90º
-EL TEOREMA DE PITÁGORAS
-RAZONES TRIGONOMÉTRICAS ENTRE SENO,COSENO Y TANGENTE:

senB=b/a=cosC            cosB=c/a=senC          tgB=b/c           tgC=c/b




Vamos a hacer un ejercicio de prueba:
-Tenemos  un triángulo rectángulo con hipotenusa a=20m y angulo B=30º.Resolvámoslo.

EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO

SACAMOS EL ÁNGULO C

SACAMOS EL LADO B

CON PITÁGORAS SACAMOS EL LADO C

EL PROBLEMA

RAZONES TRIGONOMETRICAS DE 30º,45º Y 60º.

                                                                            45º
Para calcular las razones trigonométricas de ángulos de 45º utilizamos un triángulo rectángulo isósceles(recordemos que isósceles era aquel triángulo que tiene dos lados iguales).

razones trigonométricas de 45º

30º Y 60º

Utilizamos esta vez un triángulo equilátero(tres lados iguales),calculamos la hipotenusa como antes y tenemos:

Y ASI OBTENEMOS LOS DEL 30º

 Y LOS DEL 60º

Y asi obtenemos todas las relaciones(yo he explicado las más importantes o las que trabajaremos con mas ahínco):




Gracias y ante la duda a los comentarios.

REFLEXIÓN MALOS PROFESORES

Tengo que reflexionar sobre un texto que nos ha pasado nuestro profesor de matemáticas y que ahora  voy a colgar aquí como un enlace:
enlace

La verdad y voy a ser sincero, no se muy bien que reflexión se espera de este texto
Puedo entender, que un mal profesor no es aquel que no sigue los cánones escritos en una hoja o en un libro,sino el que no consigue atraer ni emocionar a los alumnos con su asignatura.

Es curioso  que este texto hable de un profesor de filosofía,posiblemente la asignatura más subjetiva y en la que más se nota quien la enseña deleitando y quien sigue patrones establecidos.

Personalmente yo creo que un buen profesor es aquel que enseña lo que debe pero que sabe atraer al alumno como un escritor con los lectores,siempre y cuando se deje atraer el alumno,porque no debemos olvidar que para que algo funcione tienen que poner empeño las dos partes.

Ya para finalizar y sin estar seguro de ser una reflexión como esta lo que me han pedido me gustaría hablaros de una profesora muy buena que tuve en 3 años de la ESO.
Daba lengua y además muy bien,sabía atraer a la gente con sus explicaciones,sus clases eran variadas,siempre te motivaba a esforzarte más y más en cada ejercicio,trabajo o examen que te pusiese,sabía enfadarse cuando se requería pero su carácter era amable y sus explicaciones muy buenas
Esto no quita para que haya tenido o tenga buenos profesores, pero en particular ella me gustó mucho.

Bueno,gracias por todo y si tenéis dudas de esta u otra entrada ponédmelo en los comentarios
A disfrutar de las reflexiones.

TRIGONOMETRÍA,razones trigonométricas de un ángulo agudo.

Vamos a empezar con la trigonometría amigos,la trigonometría es el estudio de las razones trigonométricas como serian el seno,coseno,tangente,cotangente,secante y cosecante.

Antes de empezar a ver estas razones trigonométricas seria interesante hablar un momento de los ángulos,¿Con que unidad los medimos?:La mayoria diréis que los ángulos se miden en grados,minutos y segundos y no esta mal dicho pero mejor utilizamos el sistema internacional;los radianes¿Que es un radián?Un radián es el angulo central de una circunferencia que abarca un arco de igual longitud que el radio de la misma,es decir que si nosotros tenemos una circunferencia de radio R un radián es el ángulo que abarca un arco de longitud R.

UN RADIAN

Pero claro necesitamos establecer unas relaciones entre grados y radianes,

360º corresponden a 2π  radianes,pensad que una circunferencia tiene 360º,y ¿cuál es la longitud de la circunferencia?,pues  2π ,ya tenemos establecida la relación,ahora vamos a relacionar los ángulos mas conocidos y con los que más trabajaremos.

                                                         360º=2π radianes

                                                         180º=π radianes

                                                         90º=π/2 radianes

                                                         60ª=π/3 radianes

                                                         45º=π/4 radianes

                                                         30º=π/6 radianes

                                                         0º=0 radianes

Bueno,ahora que por fin sabemos que es un radián y tenemos establecidas las relaciones con los ángulos es hora de meterse en las razones trigonométricas de un ángulo agudo.

Para comenzar diremos que un ángulo es agudo cuando se encuentra entre 0 y π/2 radianes sin contar los π/2 radianes que serían un ángulo recto.

Las relaciones son simples:(& con este simbolo nos referiremos a un ángulo):

                             sen&= cateto opuesto/hipotenusa

                             cos&=cateto contiguo/hipotenusa

                             tg&=cateto opuesto/cateto contiguo

                      cosec&=hipotenusa/cateto opuesto      1/sen&

                      sec&=hipotenusa/cateto contiguo         1/cos&

                      cotg&=cateto contiguo/cateto opuesto  1/tg&

Principalmente todas estas relaciones sirven para calcular las medidas de los lados y ángulos,partiendo de que ahora siempre utilizamos angulos rectos necestamos saber minimo un lado y otro angulo para poder calcular lo demás.

Bueno como siempre ante la duda,en los comentarios muchas gracias.