NÚMEROS CABALÍSTICOS

Hoy vamos a aprender una curiosidad referente a los números y las matemáticas ya que me veo restringido por el tiempo, no obstante seguiremos hablando de sucesiones, límites y planteamientos sobre un examen.

Vamos a hablar de un número cabalístico muy interesante; el 142.857.
Este número que a priori os puede parecer uno más de la infinita colección, presenta una relación con sus múltiplos verdaderamente interesante.

MULTIPLIQUÉMOSLO POR 2             :285.714.
Vemos que las cifras del producto son iguales a las del número dado pero en distinto orden.
El 14 se ha trasladado de izquierda a derecha.

MULTIPLIQUÉMOSLO POR 3             :428.571.
Observamos que ocurre lo mismo, las cifras son exactamente iguales, pero con el orden alterado.
El 1 se ha trasladado a la derecha.

MULTIPLIQUÉMOSLO POR 4             :571.428.
Vemos que ocurre exactamente lo mismo.

MULTIPLIQUÉMOSLO POR 5              :714.285.
Lo mismo.

MULTIPLIQUÉMOSLO POR 6              :857.142.
vemos que el grupo 142 se ha cambiado de lugar respecto al grupo 857.

MULTIPLIQUÉMOSLO POR 7              :999.999.
Curioso, da como producto ese número formado por seis nueves.

MULTIPLIQUÉMOSLO POR 8              :1.142.856.
Nos damos cuenta que aparecen todas las cifras del número excepto el 7, pero si nos fijamos, el 7 ha sido descompuesto en el 1 que encontramos a la izquierda, y el 6 que encontramos a la derecha, curioso.

MULTIPLIQUÉMOSLO POR 9               :1.285.713.
Aquí nos fijamos en que aparecen todas las cifras, excepto el 4, que curiosamente se ha descompuesto en el 1(a la izquierda), y el 3(a la derecha).

De esta manera, podemos comprobar sus singularidades cuando se multiplica por 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17,...
Os animo a que sigáis en casa, y si queréis, podéis ponerme vuestros avances en los comentarios.


Seguimos aprendiendo aunque hoy de otra manera.
Gracias.

LÍMITE DE UNA SUCESIÓN QUE "TIENDA A UN NÚMERO REAL"(SUCESIONES CONVERGENTES).

Seguimos aprendiendo, próximamente más.
Si tenéis dudas, podéis dejármelas en los comentarios.
Gracias.
ENLACE SUCESIONES DIVERGENTES
ENLACE SUCESIONES OSCILANTES

PRODUCTO Y COCIENTE(OPERACIONES) CON SUCESIONES

PRODUCTO
a(n)·b(n)

a(n)=(2n-3)/n
b(n)=(3n)/(2+n)

a(n)·b(n)=((2n-3)/n)·((3n)/(2+n))=(6n-9)/(2+n)

a(n)·b(n)=(6n-9)/(2+n)

PROPIEDADES

-Conmutativa.

-Asociativa.

-Distributiva como tal no, sería distributiva del producto respecto a la suma.

-Elemento neutro, sí, sería 1.

-Elemento inverso en este caso no siempre ocurriría, si algún término fuese 0, no existiría el inverso.

COCIENTE:el cociente únicamente es el producto de los inversos.

Si tenéis alguna duda, podéis dejármela en los comentarios.

Gracias.

SUMA Y RESTA(OPERACIONES) CON SUCESIONES.

Una suma de sucesiones, a la que designaremos con el símbolo (+), el mismo símbolo con el que sumamos los números reales, y al fin y al cabo al sumar sucesiones estamos sumando términos de la sucesión, es decir, números reales.
a(n) y b(n)=a(n)+b(n)

a(n)=(2n-3)/n
b(n)=(3n)/(n+2)

Propiedades de la suma de sucesiones.
-Asociativa.
-Conmutativa.
-Elemento neutro, la suma de una sucesión con la sucesión de constante 0(0, 0, 0, 0,...), acabará dando siempre de resultado la primera sucesión.
-Elemento opuesto, en el que una sucesión y su opuesta(el opuesto se designa con el símbolo -), acabará dando siempre 0.

Una resta de hecho, se define como la suma de los opuestos.


Próximamente iré haciendo algunos ejercicios para practicar.
Si tenéis alguna duda, podéis dejármela en los comentarios.
Gracias.

¿Cómo saber si un sucesión es estrictamente creciente o estrictamente decreciente?

Pongamos un ejemplo:
La sucesión:a(n)=(n² +1)/n² .
Vamos a representarla:2, 5/4, 10/9, 17/16, 26/25...
Para conocer su monotonía puedes simplemente, dividir esas fracciones y localizar su monotonía rápidamente, pero llegará un momento en el que necesitaremos una demostración, y aquí está.

Hecha la demostración, espero que os haya servido.
Si tenéis alguna duda, podéis dejármela en los comentarios.
Gracias.

EJERCICIO CON SUCESIONES.

-Escribe una sucesión:a(n) acotada superiormente por 2.

-Escribe una sucesión:b(n) acotada inferiormente por -1.

-Escribe una sucesión:c(n) acotada superiormente y creciente.

-Escribe una sucesión:e(n) monótona decreciente.












-Escribe una sucesión:f(n) monótona decreciente y no acotada.

Si tenéis alguna duda, podéis dejármelas en los comentarios.
Gracias.

MONOTONÍA EN LAS SUCESIONES

¿Qué monotonías pueden tener las sucesiones?
-Sucesiones monótonas crecientes:Aquellas en las que cada término es menor o igual que el siguiente.

-Sucesiones monótonas decrecientes:Aquellas en las que cada término es mayor o igual que el siguiente.

-Sucesiones monótonas estrictamente crecientes:Aquellas en las que cada término es menor que el siguiente.

-Sucesiones monótonas estrictamente decrecientes:Aquellas en las que cada término es mayor que el siguiente.

Si tenéis alguna duda, podéis dejármela en los comentarios.
Gracias.

ACOTACIONES EN LAS SUCESIONES.

Hay dos tipos básicos de subconjuntos en R distintos de vacío.(Los intervalos y las sucesiones).
En este caso explicaremos  las acotaciones dentro de una sucesión.

Tranquilos, próximamente haremos ejercicios.
 Mañana aprenderemos la monotonía en las sucesiones.
Sigan atentos, y si tenéis dudas, por favor, dejádmelas en los comentarios.
Gracias.

SUCESIONES

Una sucesión es una secuencia de números reales, ordenados unos detrás de otro, cada uno de estos números se denominan término, es una aplicación de N en R.
Hay dos maneras de definir una sucesión:

-La definición por término general de una sucesión en la que detectamos un número en función del puesto que ocupa.Por ejemplo:a(n)=n² , si aquí queremos encontrar por ejemplo un número tal que 4,
sabemos que  en el puesto 4 estará el número 16.


-Definición por recurrencia, en la que definimos cada término en función de los
anteriores:a(n)+1=a1+(-1)d.
Ejemplo:Sea una sucesión;2, 7, 12, 17...(progresión aritmética), la sucesión sería:a(n+1=a(n)+5 en el que el primer término sería:a(n)=2.
Encontraríamos una progresión geométrica en la que el término general sería:a(n)=a1·r elevado n-1.


Si tenéis dudas, podéis dejármelas en los comentarios.
Gracias.

REFLEXIÓN SOBRE UN EXAMEN DE MATEMÁTICAS

Hoy he tenido un examen de matemáticas, estoy el primero de bachillerato, ¿qué me ha parecido?
Me ha parecido interesante, interesante cuando he sabido resolver unos cuantos ejercicios, o mejor dicho me ha parecido saber resolver.
Ha sido un examen distinto, un examen en el que hemos contado con distintas ayudas, ¿por qué?, porque si no has trabajado antes, un examen por muchas ayudas que te den, no te va a salvar, además, hemos contado con distintas ayudas porque para mi, este día de examen ha sido una clase de matemáticas más, he visto como alumnos se levantaban a consultar dudas, o incluso, hemos aprendido un concepto nuevo como sería:la recta de Euler, que ya os contaré de que va.
Porque sé que aunque algunos podáis quejaros de que contar con ayuda en un examen no está bien o que es trampa, que eso en vuestros institutos no ocurre, o que así es más fácil sacar la nota que quieras, lo cierto es que yendo al examen sin nervios, y hacerlo como si fuese una clase más o un ejercicio más, que en definitiva lo es, tranquiliza, y además te ayuda a aprender.También hay que decir, que tienes que traer una base aprendida de casa, no seamos jetas.
Así que en definitiva os digo, para los exámenes de matemáticas o para cualquier otro, que estudiéis para aprender, no estudiéis para un posible ejercicio que vaya a caer igual en el examen, o aprenderse el orden de una secuencia.Así veréis como es más fácil y más divertido, con esto no quiero decir que no sintáis un poco de presión, por otra parte lógica, o que incluso os resulte pesado hacerlo, a mi por ejemplo no me ha resultado fácil realizar todo el examen de matemáticas, lo admito, y que esa presión venga dada también por el miedo a una mala nota, que aunque por otra parte mi profesor diga que lo importante es aprender y disfrutar y a partir de ahí viene la nota, que en realidad no le quito la razón, cueste mentalizarse de una idea aprendida desde siempre.
Así que en definitiva, trabajéis, mejor dicho, trabajemos, disfrutemos, y aprendamos en todo, sin olvidarnos de esa presión que también es parte de este todo, como el sabor amargo del limón es parte de muchos alimentos.Y después de esta comparación de limones y presión, os invito a que este camino lo realicéis también con este blog.

Por cierto, respecto al examen realizado, que sé que tenéis intriga, lo iré subiendo con sus respectivas soluciones, y espero este fin de semana subirlo completamente bien realizado y entendido, principalmente entendido porque las respuestas ya nos las ha dado el profesor.
Gracias.

EJERCICIO DE EXAMEN

6.- a) Definición de baricentro de un triángulo: coordenadas.

     b) Haz de rectas que pasan por un punto: definición y ecuación

    c) Interpretación geométrica de las transformaciones elementales sobre un sistema compatible y determinado de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.

Si tenéis dudas, podéis dejármelas en los comentarios.

Gracias.

Ejercicio de examen.

11.- a) Halla el foco y la directriz de la parábola cuya ecuación es x² + 2x – 2y – 7 = 0. Su vértice no es el origen de coordenadas. Ayuda: Expresa la ecuación en la forma (x – h)² = 2p(y – k) (ecuación reducida de la parábola)  Las coordenadas del vértice V(h,k)

b) Dibuja la parábola y todos sus elementos.

Si queréis que plantee todo el proceso de resolución para hallar los distintos elementos, ponédmelo en los comentarios, dado que los hago todos en sucio, y últimamente el tiempo no me permite escribiros todo en el blog, como me veía dispuesto a subir este ejercicio cuanto antes, si queréis cuando encuentre tiempo, os lo resuelvo entero.

Gracias por seguir el blog.

EJERCICIO EXAMEN

8.- Dadas las rectas r---y=3x-1  y s---y=-3x-1 . Halla

a) Todas las ecuaciones de las rectas r y s.

b) La pendiente de las rectas r y s. ¿Son perpendiculares?

c) El ángulo formado por dichas rectas.

Dibuja las rectas r y s y todos los elementos aparecidos en los apartados anteriores.

Gracias, si tenéis dudas de algo, podéis dejármelo en los comentarios, y si creéis que me he equivocado en algo, por favor, decídmelo.

Gracias.

EJERCICIO DE EXAMEN

Sean los vectores de V2:u(1,-1) y v(-2,0).

a)¿El sistema S(u,v), es una base de V2?

Serían una base si sus vectores fuesen linealmente independientes, es decir, que ningun fuese escrito como combinación lineal del otro.
Aquí vemos que; 1/-2=-1/0----->1·0 no es igual a -2·-1, por tanto sí es una base.

b)Expresa el vector w(a,b) a,b pertenecientes a R como combinación lineal de los vectores u y v.

c)Encuentra un vector proporcional a v cuyo modulo sea √2.

Seguiré subiendo más ejercicios, pero ahora me veo envuelto en muchas tareas respecto a esta y otras asignaturas.Seguid atentos.

Gracias.

EJERCICIO ECUACIONES DE LA RECTA.

Halla, de todas las formas que conozcas, las ecuaciones de las rectas en cada uno de los siguientes casos:
A)Pasa por el punto P(4,-2) y tiene por vector director v->=(-1,3).
B)Pasa por los puntos P(-2,-5) y Q(2,1).

Iré subiendo próximamente más ejercicios de ecuaciones de la recta, hablaré de los puntos-pendiente, empezaré a explicaros las cónicas, y haremos unos ejercicios especiales que podrían ser perfectamente de examen.
Si tenéis dudas, dejádmelas en los comentarios.
Gracias.

Ecuación paramétrica, continua y general de la recta.

Continuación de la entrada anterior, te recomiendo que la eches un vistazo:ENLACE ENTRADA ANTERIOR.
En la entrada anterior, ofrecí una forma de la ecuación de la recta tal que:(x,y)=(x0,y0)+t·(a,b).
Pero sin embargo encontramos más tipos de ecuaciones de una recta, entonces...¿cuál es la correcta?
¿puede tener una recta distintos tipos de ecuación?,  y si es así, ¿guardan entre ellas alguna relación?
En efecto, existen diferentes formas de expresar una ecuación de la recta.
FORMA PARAMÉTRICA
Partiendo de la ecuación de la entrada anterior((x,y)=(2,1'3)+2·(1, 1'5)), disgregamos la coordenada x de la coordenada y y obtenemos la forma paramétrica.
x=2+1t     )
y=1'3+1'5t)
Aquí, también podemos leer el punto(2,1'3) y el vector director(1, 1'5).
FORMA CONTINUA
Despejamos t de ambas, e igualamos:
(x-3)/2=(y-5)/4.
FORMA GENERAL
Esta quizá sea la forma más interesante, puesto que contiene la misma información que las anteriores, pero solo dos incognitas.


Hemos despejado denominadores, y nos quedaría por consiguinte esa forma, sustituyendo:A=b, B=-a y C=ay0-bx0.


Si tenéis alguna duda, podéis dejármela en los comentarios.
Gracias.

GEOMETRÍA ANALÍTICA(Ecuación vectorial de la recta).

Imaginemos que no somos los únicos habitantes de este mundo, imaginemos que existen otros seres inteligentes muchísimo más pequeños que nosotros, a los que llamemos hal(habitantes altamente longitudinales), y supongamos que su mundo únicamente se reduce a la recta r de la figura superior, les da igual lo que pase en el resto del universo, ellos viven y mueren ahí.
Pero imaginemos que conviven sin saberlo con los sap(seres aplanados del plano), solo que los sap han descubierto la existencia de los hal y se dedican a estudiarlos.
Saben, por ejemplo que los hal para orientarse por su recta r, han elegido como origen de cordenadas el punto P, al que han asignado el valor 0, y como unidad, una cierta longitud k, que van llevando a la derecha del origen para determinar los puntos;1, 2, 3, ... o a la izquierda para determinar los puntos;-1, -2, -3, ...
Sin embargo, los sap, han empleado las coordenadas (2, 2'5), para referirse al punto P, ya que, como criaturas planas que son, lo ven situado 2 unidades al este, y 2'5 unidades al norte del punto(0,0).
Ademas, ellos ven la unidad k, como una hipotenusa de un triángulo rectángulo, y resumen este hecho,diciendo que, la unidad k de los hal coincide con el vector(1, 1'5).
Lo que quiero decir con esto, es que toda la vida hemos trabajado con un eje horizontal y otro vertical, cuando podemos utilizar cualquier par de ejes, esto, como la vida, es relativo.
Dejando la filosofía de lado, nosotros solemos usar un sistema de referencia:(0,i->,j->), el cual se refiere al punto 0 de origen, y a los vectores i->=(1,0) y j->=(0,1), que corresponden al eje de abscisas y ordenadas, ademas podemos generar cualquier vector a partir de una combinación lineal de estos.
Pero bueno, volvamos con nuestros amigos, los hal y los sap.

Supongamos ahora que un hal está situado en el punto t de la recta, y que un sap, amigo suyo, quiere expresar su posición mediante unas coordenadas(x,y).
Para llegar a ver a su amigo, que le debe 10 euros, el sap tiene que hacer dos cosas:
a)Debe desplazarse primero al origen de los hal mediante el vector (2,1'3), por entenderlo de alguna manera, debe pasar a su mundo.
b)Moverse ahora hasta el punto t, pero debe respetar las normas de desplazamiento del mundo de los hal, por tanto debe usar el desplazamiento equivalente al vector(1,1'5), pero se tiene que desplazar 3 veces ese vector para llegar a t, por tanto 3·(1,1'5).

Esta ecuación, llamada ecuación vectorial de la recta se define así:(x,y)=(x0,y0)+t·(a,b).
Es decir, que esta ecuación, permite a los hal y a los sap conocerse.
Imaginate que mañana llega un hal, y le dice a su amigo sap que vaya a ver el clásico barca-madrid con él, que le espera en el punto 2.
El sap tiene que entender que las coordenadas de ese punto 2 son:
(x,y)=(2,1'3)+2·(1, 1'5) es decir, las coordenadas (4,4'3) para el sistema de referencia de los sap.
Esta ecuación es como la piedra rosseta de la geometría, permite comunicarse entre dos situaciones distintas.



Espero que os haya resultado entendible y entretenido, si tenéis alguna duda, podéis dejármela en los comentarios.
Gracias.

PARADOJAS NUMÉRICAS.

Disponemos de un conjunto de números N={1, 2, 3, 4, ...},a primera vista resultan tan naturales que sin duda te darás cuenta de la lógica de su nombre:números naturales.
Ahora supongamos que existe un número natural g, tan grande que sería el mayor de todos, sabríamos que g+1 sería también natural y lógicamente mayor que g, es decir, por muy grande que sea un número natural, siempre habrá otro mayor, por tanto sacamos que hay infinitos números naturales.
Hasta aquí todo bien, todo correcto, pero consideremos ahora un subconjunto, el de los números pares, P={2, 4, 6, 8, ...}.
Si te preguntase a ti, amable lector de mi blog, ¿cuántos pares hay?, tú me contestarías:"la mitad que naturales, puesto que tiene que haber tantos pares, como impares ".
Ahora bien, es posible que cambies de opinión si asocio cada número natural el resultado de multiplicarlo por dos, que es par.Esta asociación es la función N en P definida por la fórmula:y=2x(muy conocida por todos).De tal manera que si emparejamos:
1<->2
4<->8
2004<->4008
Si he escrito esas flechas de ida y vuelta es simplemente porque, también podemos identificar cada par con un número natural, simplemente dividiendo entre dos, que es par, por tanto, es posible.Estas funciones las llamamos biyectivas.
Es decir observando esto sacamos la conclusión de que hay tantos números pares como naturales.
Así que:¿Qué es el infinito?
En este caso decimos que un conjunto es infinito cuando se puede establecer una biyección entre él y uno de sus subconjuntos propios, o dicho de otra manera, cuando tiene la misma cantidad de elementos que una de sus partes.
Si ahora al conjunto N le añadimos el 0 y los negativos, formamos el conjunto Z, que, obviamente, contiene N.
Pero, al igual que ocurría antes, ¿es mayor el conjunto Z del N?, es decir, ¿podríamos establecer una biyección entre ambos conjuntos?

Ahora por favor, quiero que lo intentéis, y por supuesto me digáis una solución o un planteamiento en los comentarios.
Gracias.

EJERCICIOS GEOMETRÍA VECTORIAL.(PARTE 2).

5-Tenemos el módulo de /W->/=15.

REALIZACIÓN

6-

7-Sean v-> y w-> dos vectores unitarios.Demuestra que el vector suma de ambos es ortogonal al vector diferencia de ambos.

Si son unitarios sabemos que su módulo es 1.
Por tanto haciendo el producto escalar:(v->+w->)·(v->-w->)=/v->/²-/w/²:producto escalar es 0 y los vectores perpendiculares.

Si tenéis alguna duda, por favor, dejádmela en los comentarios.
Gracias.

LUGARES GEOMÉTRICOS.CÓNICAS.

Lugar geométrico:Un lugar geométrico la figura que forman un conjunto de puntos que satisfacen determinadas condiciones o propiedades geométricas.
Mediatriz de un segmento:La mediatriz de un segmento es la línea recta perpendicular a dicho segmento trazada por su punto medio. Equivalentemente, se puede definir como el lugar geométrico, la recta, cuyos puntos son equidistantes a los extremos del segmento.
Es decir, si tenemos un segmento con extremos A y B, el punto que equidistan de los dos, funcionaría como la mediatriz trazada, y cualquier punto de esa mediatriz se situará equidistante a los puntos A y B.
La calculamos con el punto, recta:d(P, A)=d(P, B).

Bisectriz de un segemento:La bisectriz de un ángulo es la recta que pasa por el vértice del ángulo y lo divide en dos partes iguales. Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan (están a la misma distancia) de las semirrectas de un ángulo.
Si tenemos dos rectas, los puntos geométricos se calculan como:d(P,r)=d(P,s).

Empezamos con un nuevo tema matemático, seguid atentos.
Si tenéis alguna duda, dejádmela en los comentarios.
Gracias.

EJERCICIOS GEOMETRÍA VECTORIAL.(PARTE 1)

a)Si sabemos que su origen es el punto A(5, 2), y sabemos que sus coordenadas son:(3, 2), no tenemos más que recordar que para hallar las coordenadas de un vector fijo, es necesario restar las coordenadas del extremo a las del origen, y si aquí tenemos todos los datos excepto las coordenadas del extremo, no hay más que hacer lo que comúnmente llamamos despejar,

(a2,b2)=(5,2)+(3,2)---->((5+3),(2+2))---------->Lo que nos da unas coordenadas del extremo:(8,4).

b)Sería hacer prácticamete lo mismo, solo que esta vez habría que "despejar" las coordenadas del origen.

(a1,b1)=(0,3)-(-4,5)----->((0+4),(-3-5))---------->Lo que nos daría unas coordenadas del origen:(4,-8).

a)/v->/ sabemos que esto se calcula: √a²1+√b²1,(√(1²+5²)) así que la solución es: √26.
/w->/;(√(-3²+4²)) así que la solución es:5.
/u->/;(√(5²+12²))así que la solución es:13.

b)Se utiliza esta fórmula:

fórmula ángulo de dos vectores

   -cos(v->,w->)=17/(5√26).

   -cos(v->,u->)=65/(13√26).

   -cos(w->,u->)=33/65.

c)Utilizamos la fórmula y nos queda:

   -(v->,w->)=48º10'47"

   -(v->,u->)=11º18'36"

   -(w->,u->)=59º29'33"

d)Sumamos y restamos los orígenes y los extremos:

  -v->+w->-u->=(-7,-3).

e)Multiplicamos:

   v->(-3,-15).

f)Un vector normal es aquel ortogonal a otro, en este caso:

   el vector normal a w->(-3,4), es otro z->(4,3).

Halla el producto escalar en los siguientes casos

a)v->·w->=/v->/·/w->/·cos(v->,w->)=4·6·cos 45º=12√2=16,96.

b)v->·w->=/v->/·/w->/·cos(v->,w->)=3·3·cos 60º=9/2=4,5.

c)v->·w->=(3,-4)·(-12,-5)=-16.

d)v->·w->=(-3,4)·(15,-20)=-125.

4-Un paralelogramo tiene tres vértices en los puntos de coordenadas (-1,1);(0,-1) y (3,2).Halla las coordenadas del cuarto vértice.¿Cuántos resultados puedes obtener?

Como sabemos que es un paralelogramo, sumamos las dos primeras coordenadas para saber la distancia del vector, y se lo restamos a la tercera coordenada y nos da el cuarto punto.

A+B=(-1,2) en valor absoluto.

(-1,2)-C=(4,0).Pero si sumamos; nos da otro resultado:(-1,2)+C=(2,4).

Seguiré subiendo ejercicios en los próximos días, si tenéis dudas, por favor, dejádmelas en lso comentarios.

Gracias.

POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS EN EL PLANO.

Dos rectas en el plano pueden ser:

• Secantes; si se cortan en un punto.

• Paralelas;si no tienen ningún punto en común.

• Coincidentes; si tienen todos sus puntos comunes.

Hay tres maneras para estudiar que posición tiene la recta, debemos visualizar y resolver el sistema formado por sus ecuaciones.

Si obtenemos una solución, las rectas son secantes; si no obtenemos soluciones, las rectas son paralelas; y si encontramos infinitas soluciones, las rectas son coincidentes.

r:Ax+By+C=0

s=A'x+B'x+C=0

Resolvemos:

(A'-AB')x=BC'-B'C                  

(A'B-AB')y=AC'-A'C

RECTAS SECANTES: Si A'B-AB' distinto de 0, la ecuación tiene solución única y las rectas son secantes.

r y s son secantes<-->A'B-AB' distinto de 0; o A/A' distinto de B/B'.

RECTAS PARALELAS:Si A'B-AB'=0 y AC'-A'C distinto de 0, la ecuación no tiene soluciones y, por tanto, las rectas son paralelas:

r y s son paralelas<-->A/A'=B/B' distinto de C/C'.

RECTAS COINCIDENTES:Si A'B-AB'=0 y AC'-A'C=0, la ecuación tiene infinitas soluciones y, por tanto, las rectas son coincidentes:

r y s son coincidentes<-->A/A'=B/B'=C/C'.

Ejercicio:

Estudiemos las posiciones relativas de los siguientes pares de rectas:

1-r:2x+5y-4=0

   s:4x+10y+3=0

    No existen soluciones, por tanto son paralelas.

    2/4=5/10 distinto -4/3.

2-r:x-2y+3=0

   s:-2x+4y-6=0

  Tiene soluciones infinitas, por tanto, son coincidentes.

  1/2=-2/4=3/-6

3-r:4x+y-6=0

   s:x-3y-8=0

   Tiene soluciones, las cuales son x=2; y y=-2.

   4/1 distinto de 1/-3, por tanto, las rectas son secantes.

Si tenéis alguna duda, podéis dejármela en los comentarios.

Gracias.

ECUACIONES CONTINUA Y GENERAL DE LA RECTA.

ECUACIÓN CONTINUA DE LA RECTA
Obtenemos la ecuación continua a partir de las ecuaciones paramétricas:
¿Qué son las ecuaciones paramétricas?
-Son aquellas de una determinada recta que pasa por un determinado punto P0(x0,y0) y que tienen como vector director v->(a, b),(sabiendo que ese vector v es distinto de 0 y que hemos tomado anteriormente un sistema de referencia, que para nosotros siempre es el (0,i->.j->)).
x=x0+ta
y=y0+tb      t es un parámetro, y está dentro de los números reales.

La ecuación continua de la recta no sería más que hacer lo que comúnmente denominamos despejar la t.
Obtendriamos:

(x-x0)/a=(y-y0)/b
Es decir, sería una ecuación  de una recta determinada que pasaría por un punto fijo, y que tendría como vector a y b distintos de 0, con un sistema de referencia fijado anteriormente.
¿Qué rectas no tienen ecuación continua?
Las de las paralelas al eje x y al eje y puesto que la ecuación daría 0, comprobadlo.

ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA
Despejemos de la ecuación continua por un lado la a, y por otro la b:
b(x-x0)=a(y-y0).
bx-ay+ay0-bx0=0
Tomamos;A=b, B=-a, C=ay0-bx0.
Ecuación general:Ax+By+C=0.



Si tenéis alguna duda, podéis dejármela en los comentarios.
Gracias.

REFLEXIÓN EXPOSICIÓN"¿SE PUEDE COMPUTAR TODO?".

El otro día tuvimos una charla en mi instituto de manos del catedrático Luis María Abia Llera.

Nos habló acerca de conceptos que revolucionaron las matemáticas entonces, por ejemplo la máquina de Turing o las metamatemáticas y la teoría de conjuntos.

En sí la presentación estuvo interesante, con pequeñas anécdotas divertidas acerca de algún metamatemático que daba sus clases con ese lenguaje(matemático), con vídeos de explicaciones e incluso pequeñas máquina de Turing para descifrar.

En definitiva una exposición bien preparada, y bastante interesante.

Muchas gracias al catedrático por su tiempo.




Si no sabéis muy bien de que os estoy hablando, aquí os dejo enlaces a los diferentes temas expuestos y a la entrevista que realicé al ponente, y si después, tenéis alguna duda, por favor, dejádmela en los comentarios.

Gracias.




ENLACE MÁQUINA DE TURING

ENLACE METAMATEMÁTICAS

ENLACE ENTREVISTA AL CATEDRÁTICO


Podéis descargar una explicación (documento PDF) de la máquina universal de Turing elaborada por Alvy Ray Smith y que el ponente nos regaló a cada asistente (diseño del 2014) en el sitio web:

ENLACE

Y también buscar y enlazar algunas de las  recomendaciones que nos comentó el ponente:
· Libro: “Los lógicos” de Jesús Mosterín, Espasa-Forum.
· Documental: “La curiosa guerra de Alan Turing o cómo las Matemáticas derrotaron a Hilbert”
· Película: “The Imitation Game (Descifrando Enigma)”.
· Comic: “LOGICOMIX” (en español, editado por Sins Entido, 2011)
· Libro: B. J. Copelan, “The essential Turing”, Clarendon Press (2004)

FORMAS POLARES Y TRIGONOMÉTRICAS DE UN NÚMERO COMPLEJO(NÚMEROS COMPLEJOS)

FORMA POLAR DE UN NÚMERO COMPLEJO
El número complejo z=a+bi tiene un módulo m y un argumento &.
Por tanto podemos observar que:z=a+bi=m&.
Esta expresión m& es la forma polar o módulo argumental del número complejo.

FORMA TRIGONOMÉTRICA DE UN NÚMERO COMPLEJO
De la representación gráfica del número complejo z=a+bi=m& obtenemos:

cos&=a/m--->a=m·cos &.

sen&=b/m--->b=m·sen &.

De estas expresiones resulta:

z=a+bi=m cos&+m sen& i=m(cos&+i sen&).





Llamamos forma trigonométrica de un número complejo z a la expresión:
z=m(cos& + i sen&).


Si tenéis dudas dejádmelas en los comentarios, próximamente terminaré los números complejos, remataré la geometría vectorial y empezaré la geometría analítica, así que estad atentos.
Gracias.