Hoy vamos a hablar de unas operaciones a las que denominaremos conmutador y anticonmutador.
Estas operaciones son muy utilizadas en los ámbitos de la mecánica cuántica y de la mecánica de matrices sobre todo.
Y su utilidad empieza en el momento en el que no puedes usar la propiedad conmutativa en algunas operaciones.
CONMUTADOR
[A,B] = AB - BA
Esto es un conmutador.
La definición presupone que en las cantidades A y B no se puede aplicar la propiedad conmutativa porque no son intercambiables, sólo se les puede aplicar la propiedad asociativa, por ejemplo:
A·(BC) = (AB)·C
Estas operaciones son muy utilizadas en los ámbitos de la mecánica cuántica y de la mecánica de matrices sobre todo.
Y su utilidad empieza en el momento en el que no puedes usar la propiedad conmutativa en algunas operaciones.
CONMUTADOR
[A,B] = AB - BA
Esto es un conmutador.
La definición presupone que en las cantidades A y B no se puede aplicar la propiedad conmutativa porque no son intercambiables, sólo se les puede aplicar la propiedad asociativa, por ejemplo:
A·(BC) = (AB)·C
Como en sí no tiene mucha más gracia esto, vamos a hacer algunos ejercicios.
Demostrar las siguiente relaciones:
1) [A+B,C] = [A,C] + [B,C]
[A+B,C]=(A+B)C-C(A+B)
AC+BC-CA-CB
[A,C] + [B,C]
2) [A,BC] = [A,B]C + B[A,C]
2) [A,BC] = [A,B]C + B[A,C]
Procedemos a su realización, pero vamos a demostrarlo empezando por el resultado final.
[A,B]C + B[A,C]=(AB-BA)C+B(AC-CA)
ABC-BAC+BAC-BCA
[A,BC]
3) [A,[B,C]] + [B,[C,A]] + [C,[A,B]] = 0
Este es muy fácil, procedamos a realizarlo.
[A,[B,C]] + [B,[C,A]] + [C,[A,B]]
[A,BC-CB]+[B,CA-AC]+[C,AB-BA]
ABC-ACB-BCA+CBA+BCA-BAC-CAB+ACB+CAB-CBA-ABC+BAC=0
Una vez visto el conmutador, vamos a pasar a ver el anticonmutador.
ANTICONMUTADOR
El anticonmutador consiste en otra manera de definir a la expresión matricial en la cual se define no a la diferencia de los productos matriciales sino a la suma de los mismos, a la cual se le llama el anticonmutador, utilizando corchetes en lugar de los paréntesis cuadrados.
{A,B} = AB + BA
Como antes, vamos a poner algún ejemplo
Demostrar la siguiente relación:
[JK, LM] = J{L,K}M + {L,J}MK - JL{M,K} - L{M,J}K
Procedamos a resolverlo:
[JK, LM]=JKLM-LMJK
JLKM+JKLM-JLKM-LMJK-LJMK+LJMK+LJMK-LJMK+JLMK-JLMK-JLMK+JLMK+JLKM-JLKM
J{L,K}M + {L,J}MK - JL{M,K} - L{M,J}K
Las letras en rojo muestran lo añadido para desarrollar la ecuación, sabiendo que añadiendo su suma y su resta la ecuación se mantiene igual.
Espero que esta entrada os haya servido.
Los conmutadores y anticonmutadores como ya he comentado antes están muy relacionados con la mecánica de matrices y nos va a servir especialmente para resolver o entender una de las fórmulas más importantes de Max Born estando esta, íntimamente relacionada con la mecánica de matrices de Werner Heisemberg, pilar fundamental de la física cuántica.
Esta entrada la subiré en poco tiempo a mi blog de física dejando aquí el enlace a la misma.
LA EXTRAÑA ECUACIÓN DE MAX BORN
LA EXTRAÑA ECUACIÓN DE MAX BORN
Ante cualquier duda, podéis dejarla en los comentarios.
Gracias.
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