El logaritmo de un número positivo en base a(positiva y diferente a 1),es el exponente al que hay que elevar la base para obtener el número m dado,ejemplo por favor:
loga m=z<--->m=z(la a tomadla por favor como subíndice,o sea como la base, porque no puedo subir fotos,gracias)
log3 9=2<---->9=3²
Si la base es a=10 se denomina logaritmos decimales y no ponemos la base
log10 m=log m
Cuando la base en el número e,(que es un número trascendente) se me denomina logaritmo neperiano y se expresa por ln
loge m=ln m
CAMBIO DE BASE
loga x=logb x/logb a
PROPIEDADES
1- el logaritmo de la unidad es 0
loga 1=0
2-El logaritmo de la base es 1
loga a=1
3-el logaritmo de una potencia de base es el exponente
4-el logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de sus factores
5-el logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor
6-el logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la base de la potencia.
7-el logaritmo de una raíz es igual al logaritmo del radicando dividido por el índice de la raíz.
Esto es todo,gracias.
domingo, 29 de noviembre de 2015
Resolución del problema matemático de Gauss
Hace una semana planteé un problema que cuentan que le ocurrió a Gauss.Hoy lo resolvemos,pero antes de resolverlo me gustaría comentaros una cosa que dijo mi profesor de matemáticas el otro día,estaba hablando de que las matemáticas servían para alcanzar en cierto modo una resolución de un problema más rápido y justo puso este ejemplo de Gauss, pero simplemente para decirnos que las matemáticas nos ayudan a resolver los problemas más rápida y fácilmente.
Bueno pues empezamos.
Gauss descubrió la fórmula de la suma de una progresión aritmetica,se dio cuenta de que 1+100=101,2+99=101,3+98=101.Así tenía 50 pares de números cuya suma era 101 así que el resultado tenía que ser 101•50=5050.
Muchas gracias por todo y ante la duda ya sabéis,los comentarios.
Bueno pues empezamos.
Gauss descubrió la fórmula de la suma de una progresión aritmetica,se dio cuenta de que 1+100=101,2+99=101,3+98=101.Así tenía 50 pares de números cuya suma era 101 así que el resultado tenía que ser 101•50=5050.
Muchas gracias por todo y ante la duda ya sabéis,los comentarios.
EXAMEN EJERCICIOS PRINCIPAL
Aquí os pongo dos ejercicios que me han impuesto a mi para realizar y contar correctamente en el blog.
-Halla dos números naturales cuya suma sea 10 y la suma de sus cubos 370.
Bueno yo he empezado a realizarlo con un sistema de ecuaciones con dos incógnitas,además sacarlas en un principio debería ser fácil,ya que:
{x+y=10
{x³+y³=370
Para resolver esta he empleado el método de sustitución habiendo dejado una incógnita sola anteriormente.
{y=10-x lo que comúnmente llamamos despejar una incógnita ha sido en este caso restar -10 a los dos lados del igual, pero bueno una vez hecho esto simplemente sustituimos la y despejada en la ecuación de abajo:
x³+(10-x)³=370
Bueno como podemos observar tendremos que sacar esa identidad notable que es el (10-x)³,en este caso la indentidad es un binomio al cubo que se resuelve con esta fórmula:(a-b)³=a³-3a²b+3ab²-b³,que en nuestro caso quedaría:1000-300x+30x²-x³,conclusión ordenando la ecuación quedaría así:
x³-x³+30x²-300x+1000=370
Igualando a 0
30x²-300x+630=0
Simplificando entre 30
x²-10x+21=0
Bueno y como vemos nos ha quedado una magnífica ecuacion de segundo grado que podemos resolver con la fórmula:
en la que a es 1,b es -10 y c es 21.
Nos da dos resultados, x=3 y x=7.
Que sustituyendo en la primera ecuación de:y=10-x nos da la y que corresponde a la otra solución.
Por tanto si sumamos 3+7 nos da 10 y si sumamos 3³+7³ nos da 370.Comprobadlo.
Gracias y si teneis dudas o creeis que me he equivocado os agradecería que me lo dijeseis en los comentarios.
Segundo ejercicio:
- Definición de fracción algebraica.
Bueno,una fracción algebraica es el cociente de dos polinomios:
P(x)/Q(x)
Por ejemplo tenemos el polinomio x²-x y otro que sería 2x.
x²-x/2x sería la fracción algebraica
Dos fracciones algebraicas son equivalentes si se verifica que:P(x)•T(x)=R(x)•Q(x).
x²-x/2x una fracción algebraica
x-1/2 otra fracción algebraica
Son equivalentes ya que 2(x²-x)=2x(x-1)
Gracias.
-Halla dos números naturales cuya suma sea 10 y la suma de sus cubos 370.
Bueno yo he empezado a realizarlo con un sistema de ecuaciones con dos incógnitas,además sacarlas en un principio debería ser fácil,ya que:
{x+y=10
{x³+y³=370
Para resolver esta he empleado el método de sustitución habiendo dejado una incógnita sola anteriormente.
{y=10-x lo que comúnmente llamamos despejar una incógnita ha sido en este caso restar -10 a los dos lados del igual, pero bueno una vez hecho esto simplemente sustituimos la y despejada en la ecuación de abajo:
x³+(10-x)³=370
Bueno como podemos observar tendremos que sacar esa identidad notable que es el (10-x)³,en este caso la indentidad es un binomio al cubo que se resuelve con esta fórmula:(a-b)³=a³-3a²b+3ab²-b³,que en nuestro caso quedaría:1000-300x+30x²-x³,conclusión ordenando la ecuación quedaría así:
x³-x³+30x²-300x+1000=370
Igualando a 0
30x²-300x+630=0
Simplificando entre 30
x²-10x+21=0
Bueno y como vemos nos ha quedado una magnífica ecuacion de segundo grado que podemos resolver con la fórmula:
en la que a es 1,b es -10 y c es 21.Nos da dos resultados, x=3 y x=7.
Que sustituyendo en la primera ecuación de:y=10-x nos da la y que corresponde a la otra solución.
Por tanto si sumamos 3+7 nos da 10 y si sumamos 3³+7³ nos da 370.Comprobadlo.
Gracias y si teneis dudas o creeis que me he equivocado os agradecería que me lo dijeseis en los comentarios.
Segundo ejercicio:
- Definición de fracción algebraica.
Bueno,una fracción algebraica es el cociente de dos polinomios:
P(x)/Q(x)
Por ejemplo tenemos el polinomio x²-x y otro que sería 2x.
x²-x/2x sería la fracción algebraica
Dos fracciones algebraicas son equivalentes si se verifica que:P(x)•T(x)=R(x)•Q(x).
x²-x/2x una fracción algebraica
x-1/2 otra fracción algebraica
Son equivalentes ya que 2(x²-x)=2x(x-1)
Gracias.
domingo, 22 de noviembre de 2015
Curioso
Os voy a pasar un enlace sobre una curiosidad relacionada directamente con los paralelosde la Tierra y que quiza os parezca interesante,tiene mucho merito y a mi me ha gustado mucho siempre y cuando leas con atencion y sin liarte.
¡¡¡¡¡PROBLEMA MATEMATICO DE GAUSSS!!!!!
Hoy y para hacer honor al metodo de Gauss que he explicado en anteriores entradas voy a comentar un problema que le formularon a Gauss cuando era joven,seguro que os suena.
Esta anecdota cuenta el castigo que les impuso el profesor de matematicas de Gauss a toda la clase para hacerlos callar durante un rato.Les pidio que sumasen los 100 primeros numeros naturales.Todos sus compañeros empezaron a hacerlo y el con un par de operaciones tuvo bastante para calcularlo.
¿Sabriaís decirme como lo hizo?
Dejadme en los comentarios las posibles soluciones y el metodo para hacerlo y si teneis dudas de esta u otra entrada tambien podeis ponermelo,muchas gracias.
Esta anecdota cuenta el castigo que les impuso el profesor de matematicas de Gauss a toda la clase para hacerlos callar durante un rato.Les pidio que sumasen los 100 primeros numeros naturales.Todos sus compañeros empezaron a hacerlo y el con un par de operaciones tuvo bastante para calcularlo.
¿Sabriaís decirme como lo hizo?
Dejadme en los comentarios las posibles soluciones y el metodo para hacerlo y si teneis dudas de esta u otra entrada tambien podeis ponermelo,muchas gracias.
Solucion del juego matematico
Os voy a dar la solucion del juego matematico propuesto la semana pasada;
Bien,solo hay 8 grupos de edades que multiplicadas den 36,y son las siguientes:
a)1,1,36 que suman (38)
b)1,2,18 que suman (21)
c)1,3,12(16)
d)1,4,9(14)
e)1,6,6(13)
f)2,2,9(13)
g)2,3,6(11)
h)3,3,4(10)
Entre parentesis he puesto la suma de estas edades,Si el profesor viviese en uno de estos numeros(38,21,16,14,11 o 10) no le faltaria ningun dato y sabria automaticamente las edades de las tres hermanas.Si duda es porque vive en el numero 13,y hay dos grupos de edades que suman 13,entonces para saber cual es de los dos pide mas datos,el hecho de que la mayor toque el piano le aclara que las edades son 2,2,9 ya que en 1,6,6 no hay una hermana mayor sino dos.
Si teneis cualquier duda o me quereis comentar algo sobre este problema ponedlo en los comentarios.
Gracias.
¿Cómo resover sistemas de ecuaciones con dos incognitas? MÉTODO DE GAUSS.
Lo que comúnmente llamamos métodos de sustitución,igualación o reduccción son en realidad transformaciones elementales sobre un sistema de ecuaciones.
Por ejemplo cojamos esta ecuacion:E1:x+y-5=0
E2:2x+3y-13=0
1)Intercambiamos 2 ecuaciones.
x+y-5=0 2x+3y-13=0
2x+3y-13=0 E1<------>E2 x+y-5=0
2)Sustituimos una ecuación por ella misma multiplicada por un número distinto de 0.
Ei<------zEi (z distinto de0)
Por ejemplo cojamos esta ecuacion:E1:x+y-5=0
E2:2x+3y-13=0
1)Intercambiamos 2 ecuaciones.
x+y-5=0 2x+3y-13=0
2x+3y-13=0 E1<------>E2 x+y-5=0
2)Sustituimos una ecuación por ella misma multiplicada por un número distinto de 0.
Ei<------zEi (z distinto de0)
E1----->2E1
2x+2y-10=0
2x+3y-13=0
2b)Tambiún se puede sumaren vez de multiplicar.
x+y=6 x+y=6
2x+5=8 S-5------> 2x=3
3)Sustituir una ecuación por ella misma más un escalar por otra ecuación distinta.
Ei<--------Ei+z*Ej (i distinto j).
E2<-------E2+1/5E1
x+y-5=0
7/5x+3/5y-13/5=0
4)Si una incógnita "está despejada" sustituir dicha expresión en el resto de las incognitas.
2x+y-3=0 2x+(x-5)-3=0
y=x-5 ------>Sy y=x-5
5)Solución mediante:
eliminación de una ecuación que es igual a otra
eliminación de una ecuación que es proporcional a otra
eliminación de una ecuación que sea combinación lineal de otra.
Si tenéis dudas o veis que me he confundido en alguna parte no dudéis en ponerlo en los comentarios.
lunes, 16 de noviembre de 2015
Ecuaciones irracionales
Una ecuación es irracional cuando tiene la incógnita bajo el signo radical: √(x²-1) +1=x.
¿Cómo la resolveremos?
1.Aislamos el radical en un miembro: √(x²-1)=x-1.
2.Elevamos al cuadrado los dos miembros de la expresión: x²-1=x²-2x+1.
3.Si sigue existiendo algún radical,repetimos el proceso.
4.Resolvemos y verificamos: 2x=2; x=1.
NOTA: ¡Ojo!, cuando elevemos al cuadrado, tenemos que estar atentos porque en muchas ocasiones obtendremos soluciones que verifican una ecuación posterior elevada al cuadrado; no la anterior.
Ejemplo: x=1, la solución claramente es 1.
Si elevamos al cuadrado los dos términos, debería darnos una ecuación equivalente; pero no es el caso: en x²=1, las soluciones serían ±1, es decir, +1 y -1.Esto verificaría esta ecuación, pero no la primera, y se denominaría solución extraña.
Así que, ojo cuando elevemos al cuadrado.
Ya sabéis, ante cualquier duda, podéis dejármelo en los comentarios.
Gracias.
¿Cómo la resolveremos?
1.Aislamos el radical en un miembro: √(x²-1)=x-1.
2.Elevamos al cuadrado los dos miembros de la expresión: x²-1=x²-2x+1.
3.Si sigue existiendo algún radical,repetimos el proceso.
4.Resolvemos y verificamos: 2x=2; x=1.
NOTA: ¡Ojo!, cuando elevemos al cuadrado, tenemos que estar atentos porque en muchas ocasiones obtendremos soluciones que verifican una ecuación posterior elevada al cuadrado; no la anterior.
Ejemplo: x=1, la solución claramente es 1.
Si elevamos al cuadrado los dos términos, debería darnos una ecuación equivalente; pero no es el caso: en x²=1, las soluciones serían ±1, es decir, +1 y -1.Esto verificaría esta ecuación, pero no la primera, y se denominaría solución extraña.
Así que, ojo cuando elevemos al cuadrado.
Ya sabéis, ante cualquier duda, podéis dejármelo en los comentarios.
Gracias.
domingo, 15 de noviembre de 2015
Juego matemático
Dado que estos últimos días no he podido actualizar mucho mi blog, debido a unos problemas técnicos de mi ordenador, quiero agradecer la espera proponiendo un pequeño problema medido entre la lógica y las matemáticas:
Dos profesores están hablando de sus respectivas familias:
•Por cierto, ¿Cuantos años tienen cada una de tus tres hijas? -preguntó uno de los dos.
•El producto de sus edades es 36, y su suma, casualmente, es igual al número de tu casa.
Después de reflexionar un rato, el que ha formulado la pregunta dice:
•Me falta un dato.
•Tienes razón -dice el otro.- Había olvidado que mi hija mayor toca el piano.
¿Que edades tienen las tres hijas?
Si sabéis la solución o creéis que vuestros planteamientos son correctos, no dudéis en dejarlo en los comentarios. Próximamente os diré la respuesta. Gracias a todos
Dos profesores están hablando de sus respectivas familias:
•Por cierto, ¿Cuantos años tienen cada una de tus tres hijas? -preguntó uno de los dos.
•El producto de sus edades es 36, y su suma, casualmente, es igual al número de tu casa.
Después de reflexionar un rato, el que ha formulado la pregunta dice:
•Me falta un dato.
•Tienes razón -dice el otro.- Había olvidado que mi hija mayor toca el piano.
¿Que edades tienen las tres hijas?
Si sabéis la solución o creéis que vuestros planteamientos son correctos, no dudéis en dejarlo en los comentarios. Próximamente os diré la respuesta. Gracias a todos
Relaciones de Cardano
Hoy voy a hablar de las relaciones de Cardano.
Estas relaciones nos dicen como podemos escribir una ecuación de segundo grado de otra forma; pongamos un ejemplo:
Tenemos la ecuación ax²+bx+c=0, típica forma para la ecuación de segundo grado.
Pues bien, con Cardano, adoptaría la forma x²-Sx+P=O, siendo S la suma de las dos incógnitas, x1 y x2, y la P, el producto de las mismas.
Ahora lo detallaré mejor:
Para resolver las ecuaciones de segundo grado necesitamos realizar la operación de:
(-b±√(b²-4ac))/2a dando por hecho que ese ± en una sería + y en otra -, tendríamos
x1=(-b+√(b²-4ac))/2a y,
x2=(-b-√(b²-4ac))/2a.
Entonces, analizando que la S es la suma de las dos, tendríamos: S=x1+x2, que sería igual a: -b/a; y el producto que sería: P=x1*x2, consiguiendo de resultado final c/a. Por tanto, la ecuación quedaría: x²-Sx+p=0.
Si nos imaginamos, por ejemplo, que las raíces de esa ecuación son 2 y 3, tendríamos un resultado tal que: x²-5x+6=0.
Recordad que ante cualquier duda, podéis ponérmelo en los comentarios.
Estas relaciones nos dicen como podemos escribir una ecuación de segundo grado de otra forma; pongamos un ejemplo:
Tenemos la ecuación ax²+bx+c=0, típica forma para la ecuación de segundo grado.
Pues bien, con Cardano, adoptaría la forma x²-Sx+P=O, siendo S la suma de las dos incógnitas, x1 y x2, y la P, el producto de las mismas.
Ahora lo detallaré mejor:
Para resolver las ecuaciones de segundo grado necesitamos realizar la operación de:
(-b±√(b²-4ac))/2a dando por hecho que ese ± en una sería + y en otra -, tendríamos
x1=(-b+√(b²-4ac))/2a y,
x2=(-b-√(b²-4ac))/2a.
Entonces, analizando que la S es la suma de las dos, tendríamos: S=x1+x2, que sería igual a: -b/a; y el producto que sería: P=x1*x2, consiguiendo de resultado final c/a. Por tanto, la ecuación quedaría: x²-Sx+p=0.
Si nos imaginamos, por ejemplo, que las raíces de esa ecuación son 2 y 3, tendríamos un resultado tal que: x²-5x+6=0.
Recordad que ante cualquier duda, podéis ponérmelo en los comentarios.
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