Hoy vamos a hablar de algunas cuestiones algebraicas muy interesantes, vamos a empezar hablando de lo que es un espacio en R.
Un espacio es principal y llanamente un conjunto de dos operaciones.
Ejemplos de espacio:
-En Rn: Según el valor de n, obtendremos las dimensiones correspondientes, después según las dimensiones obtenidas, tenemos un vector con coordenadas x1, x2, x3 que podemos sumar con otro vector o multiplicarlo por un escalar.
Como podéis observar en la imagen, hemos realizado las operaciones básicas de suma y producto por un escalar.
-Con matrices cuadradas de orden 2 con coeficiente en R; M(2,R):
Existen ejemplos también con matrices cuadradas con coeficiente en k o con polinomios pero sobreentiendo que se sepa sumar o multiplicar por un escalar las matrices o los polinomios.
Vamos a hablar ahora de los subconjuntos y los subespacios.
Primero comentemos que es una combinación lineal:
Sea E un k-espacio vectorial.
Sean e1, e2, ..., en pertenecientes a E, vectores de E.
Llamaremos combinación lineal de los vectores e1, e2, ...., en a una expresión de la forma:
Un espacio es principal y llanamente un conjunto de dos operaciones.
Vamos a señalar unas cosas aquí; todas las transformaciones que hemos realizado son las definiciones de suma, producto o propiedad distributiva que todos conocemos: además decimos que las transformaciones son cerradas, es decir, hagamos lo que hagamos el resultado estará siempre en el mismo plano.
-En Rn: Según el valor de n, obtendremos las dimensiones correspondientes, después según las dimensiones obtenidas, tenemos un vector con coordenadas x1, x2, x3 que podemos sumar con otro vector o multiplicarlo por un escalar.
Como podéis observar en la imagen, hemos realizado las operaciones básicas de suma y producto por un escalar.
-Con matrices cuadradas de orden 2 con coeficiente en R; M(2,R):
Vamos a hablar ahora de los subconjuntos y los subespacios.
Primero comentemos que es una combinación lineal:
Sea E un k-espacio vectorial.
Sean e1, e2, ..., en pertenecientes a E, vectores de E.
Llamaremos combinación lineal de los vectores e1, e2, ...., en a una expresión de la forma:
para ciertos escalares xi perteneciente a k sabiendo que (i=1, 2,...n)
Hay que comentar que a la multiplicación por escalares se la denomina dilatación.
Y, como hemos comentado antes, que la suma y el producto sean cerrados significa que aunque sumes o multipliques el resultado se encontrará en el mismo lugar que su anterior.
Bien, sea E un k-espacio vectorial.
Un subconjunto V perteneciente al espacio E es un subespacio de E solo si es cerrado por combinaciones lineales.
Es decir, si:
Más adelante seguiremos hablando de esto y haremos ejercicios para probar si un subconjunto es un subespacio de algún espacio.
Si tenéis alguna duda, podéis dejármela en los comentarios.
Gracias.
No hay comentarios:
Publicar un comentario