BASE DE VECTORES

Hoy vamos a aprender una cosa nueva del álgebra vectorial muy interesante.
Antes de comenzar os dejo un enlace a mi entrada sobre los espacios, subespacios y subconjuntos en R:ESPACIOS, SUBESPACIOS Y SUBCONJUNTOS EN R

Bien, vamos a hablar de la base de vectores.
Como definición sería:

Por definición, <e1, ..., en> es un subespacio de E y lo denominaremos subespacio gernado por los vectores e1, ..., en.

¿Por qué decimos que por definición? Bien, hemos puesto que son combinaciones lineales de los vectores e1 y e2, y recordemos, que si un subconjunto de vectores es cerrado por combinación lineal se convierte en un subespacio de E, subespacios que siempre pasan por el origen de coordenadas.

Definimos:

En particular los vectores (e1, ..., en) generan el k-espacio vectorial E si E=(e1, ..., en).

Se dice entonces que "e1, ..., en" es un sistema de generadores de E.

Definimos diciendo que los vectores e1, ..., en son linealmente dependientes(L.D.) si alguno se expresa como combinación lineal de otros.

O decimos:

Bien, veamos como generar una base:

Un conjunto de vectores, (e1, ..., en) forman una base en E si generan E y son linealmente independientes.

Veamos el teorema:

Es decir, creo que es lógico que todo vector se exprese como combinación lineal de una base de vectores anterior.

Lo que decimos es que cualquier vector se expresa como combinación lineal de los vectores de la base de modo único, con escalares únicos, si ocurriese lo contrario ya no sería una base.

Definimos esto:

Vamos a demostrar el teorema:

Hablaremos más sobre esto en entradas posteriores.

Si tenéis alguna duda, podéis dejarla en los comentarios.

Gracias.